Propriedades dos triângulos

Os triângulos são uma das formas mais simples, mas mais fundamentais, na geometria. Eles são polígonos de três lados com três ângulos. É importante entender as propriedades dos triângulos porque eles formam a base para conceitos geométricos mais complexos. Nesta lição, vamos explorar as propriedades e características dos triângulos em detalhes.

Tipos de triângulos

Os triângulos podem ser classificados com base em seus lados e ângulos. Vamos dar uma olhada nessas classificações:

Tipos baseados nos lados

• Triângulo equilátero: Todos os três lados são iguais, e todos os três ângulos são de 60 graus. Uma característica única dos triângulos equiláteros é que eles são perfeitamente simétricos.

  Exemplo: Lados = 5 cm, 5 cm, 5 cm; Ângulos = 60°, 60°, 60°

• Triângulo isósceles: Dois lados são iguais, e os ângulos opostos a esses lados também são iguais.

  Exemplo: Lados = 5 cm, 5 cm, 8 cm; Ângulos = 70°, 70°, 40°

• Triângulo escaleno: Todos os lados e todos os ângulos são diferentes.

  Exemplo: Lados = 4 cm, 5 cm, 6 cm; Ângulos = 40°, 60°, 80°

Tipos baseados nos ângulos

• Triângulo acutângulo: Todos os ângulos são menores que 90 graus.

  Exemplo: Ângulos = 50°, 60°, 70°

• Ângulo reto: Um de seus ângulos é exatamente 90 graus.

  Exemplo: Ângulos = 30°, 60°, 90°

• Triângulo obtusângulo: Um de seus ângulos é maior que 90 graus.

  Exemplo: Ângulos = 30°, 45°, 105°

Propriedades dos triângulos

Agora, vamos explorar algumas propriedades fundamentais dos triângulos:

Soma dos ângulos interiores

A soma dos ângulos interiores de qualquer triângulo é sempre 180 graus. Esta propriedade é importante para resolver problemas e encontrar ângulos desconhecidos.

Por exemplo:

Se dois ângulos de um triângulo são 70° e 40°, o terceiro ângulo é 180° - (70° + 40°) = 70°.

Propriedade do ângulo exterior

O ângulo exterior de um triângulo é igual à soma de seus dois ângulos interiores opostos.

Por exemplo:

Em um triângulo com ângulos 50°, 60°, e 70°, um ângulo exterior adjacente ao ângulo de 50° é 120°, porque 120° = 60° + 70°.

Teorema da desigualdade triangular

Este teorema afirma que a soma das comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo deve ser maior que o comprimento do terceiro lado.

• Para um triângulo com lados a, b, c:

  a + b > c, a + c > b, b + c > a

Exemplo:

Se um triângulo tem lados de 3 cm, 4 cm, e 5 cm, ele satisfaz: 3 + 4 > 5, 3 + 5 > 4, e 4 + 5 > 3.

Triângulos semelhantes

Dois triângulos são semelhantes se eles têm a mesma forma, ou seja, ângulos correspondentes são iguais, e lados correspondentes estão em proporção.

Se o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF, então ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F; e AB/DE = BC/EF = CA/FD.

Triângulo congruente

Dois triângulos são congruentes se eles são semelhantes em tamanho e forma, ou seja, seus lados e ângulos correspondentes são iguais.

Critérios para Congruência:

• Critério LLL (Lado-Lado-Lado): Se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo.
• Critério LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo.
• Critério ALA (Ângulo-Lado-Ângulo): Se dois ângulos e o lado entre eles de um triângulo são iguais a dois ângulos e o lado entre eles de outro triângulo.
• Critério AAS (Ângulo-Ângulo-Lado): Se dois ângulos e um lado não incluso de um triângulo são iguais a dois ângulos e o lado correspondente não incluso de outro triângulo.
• Critério AAC (Ângulo Reto-Hipotenusa-Cateto): Em triângulos retângulos, se a hipotenusa e um lado de um triângulo são iguais à hipotenusa e um lado do outro triângulo.

Área e perímetro

Área de triângulos

A área de um triângulo pode ser encontrada usando diferentes fórmulas dependendo das informações disponíveis:

• Uso da base e altura:

  Área = 0,5 × base × altura

• Usando a fórmula de Heron: para lados a, b, c, semiperímetro s = (a + b + c)/2

  Área = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]

Exemplo usando base e altura:

Se um triângulo tem uma base de 4 cm e uma altura de 3 cm, a área é 0,5 × 4 × 3 = 6 cm².

Perímetro de triângulos

O perímetro de um triângulo é a soma de seus lados:

Perímetro = lado1 + lado2 + lado3

Exemplo:

Se os lados de um triângulo são 5 cm, 6 cm, e 7 cm, o perímetro é 5 + 6 + 7 = 18 cm.

Linhas especiais nos triângulos

• Mediana: A mediana divide o triângulo em duas partes iguais. É uma linha desenhada de um vértice ao ponto médio do lado oposto.
• Altura: Altura é o segmento de linha perpendicular de um vértice à linha no lado oposto.
• Bissetriz de ângulo: Uma bissetriz de ângulo divide um ângulo em dois ângulos iguais.
• Bisector perpendicular: O bisector perpendicular é a linha que divide um lado em duas partes iguais a 90 graus.

Conclusão

As propriedades dos triângulos são a pedra angular de muitos conceitos geométricos. Ao entender os tipos, propriedades e fórmulas relacionadas aos triângulos, é possível resolver uma ampla gama de problemas matemáticos. A capacidade de identificar diferentes tipos de triângulos e aplicar as propriedades e os teoremas adequados é uma habilidade inestimável em matemática.

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