Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Propiedades de los triángulos


Los triángulos son una de las figuras más simples pero más fundamentales en geometría. Son polígonos de tres lados con tres ángulos. Es importante entender las propiedades de los triángulos porque forman la base para conceptos geométricos más complejos. En esta lección, exploraremos las propiedades y características de los triángulos en detalle.

Tipos de triángulos

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados y ángulos. Echemos un vistazo a estas clasificaciones:

Tipos basados en lados

  • Triángulo equilátero: Los tres lados son iguales, y los tres ángulos son de 60 grados. Una característica única de los triángulos equiláteros es que son perfectamente simétricos. 
    Ejemplo: Lados = 5 cm, 5 cm, 5 cm; Ángulos = 60°, 60°, 60°
  • Triángulo isósceles: Dos lados son iguales, y los ángulos opuestos a estos lados también son iguales. 
    Ejemplo: Lados = 5 cm, 5 cm, 8 cm; Ángulos = 70°, 70°, 40°
  • Triángulo escaleno: Todos los lados y todos los ángulos son diferentes. 
    Ejemplo: Lados = 4 cm, 5 cm, 6 cm; Ángulos = 40°, 60°, 80°

Tipos basados en ángulos

  • Triángulo acutángulo: Todos los ángulos son menores de 90 grados. 
    Ejemplo: Ángulos = 50°, 60°, 70°
  • Ángulo recto: Uno de sus ángulos es exactamente 90 grados. 
    Ejemplo: Ángulos = 30°, 60°, 90°
  • Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos es mayor de 90 grados. 
    Ejemplo: Ángulos = 30°, 45°, 105°

Propiedades de los triángulos

Ahora, exploremos algunas propiedades fundamentales de los triángulos:

Suma de ángulos interiores

La suma de los ángulos interiores en cualquier triángulo es siempre 180 grados. Esta propiedad es importante al resolver problemas y encontrar ángulos faltantes.

Por ejemplo:

Si dos ángulos de un triángulo son 70° y 40°, el tercer ángulo es 180° - (70° + 40°) = 70°.

Propiedad del ángulo exterior

El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus dos ángulos interiores opuestos.

Por ejemplo:

En un triángulo con ángulos 50°, 60° y 70°, un ángulo exterior adyacente al ángulo de 50° es 120°, porque 120° = 60° + 70°.

Teorema de desigualdad del triángulo

Este teorema establece que la suma de las longitudes de cualquier dos lados de un triángulo debe ser mayor que la longitud del tercer lado.

  • Para un triángulo con lados a, b, c: 
    a + b > c, a + c > b, b + c > a

Ejemplo:

Si un triángulo tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, satisface: 3 + 4 > 5, 3 + 5 > 4, y 4 + 5 > 3.

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, lo que significa que los ángulos correspondientes son iguales, y los lados correspondientes están en proporción.

Si el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF, entonces ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F; y AB/DE = BC/EF = CA/FD.

Triángulo congruente

Dos triángulos son congruentes si son similares en tamaño y forma, es decir, sus lados y ángulos correspondientes son iguales.

Criterios de Congruencia:

  • Criterio Lado-Lado-Lado (LLL): Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo.
  • Criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL): Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo.
  • Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo.
  • Criterio Ángulo-Ángulo-Lado (AAL): Si dos ángulos y un lado no incluido de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado correspondiente no incluido de otro triángulo.
  • Criterio Ángulo Recto-Hipotenusa-Lado (ARH): En triángulos rectángulos, si la hipotenusa y un lado de un triángulo son iguales a la hipotenusa y un lado del otro triángulo.

Área y perímetro

Área de los triángulos

El área de un triángulo se puede encontrar usando diferentes fórmulas dependiendo de la información disponible:

  • Uso de la base y la altura: 
    Área = 0.5 × base × altura
  • Uso de la fórmula de Herón: para lados a, b, c, semiperímetro s = (a + b + c)/2 
    Área = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]

Ejemplo usando base y altura:

Si un triángulo tiene una base de 4 cm y una altura de 3 cm, el área es 0.5 × 4 × 3 = 6 cm².

Perímetro de los triángulos

El perímetro de un triángulo es la suma de sus lados:

Perímetro = lado1 + lado2 + lado3

Ejemplo:

Si los lados de un triángulo son 5 cm, 6 cm, y 7 cm, el perímetro es 5 + 6 + 7 = 18 cm.

Líneas especiales en los triángulos

  • Mediana: La mediana divide el triángulo en dos partes iguales. Es una línea trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
  • Altura: La altura es el segmento de línea perpendicular desde un vértice hasta la línea en el lado opuesto.
  • Bisectriz de un ángulo: Una bisectriz de un ángulo divide un ángulo en dos ángulos iguales.
  • Bisectriz perpendicular: La bisectriz perpendicular es la línea que divide un lado en dos partes iguales a 90 grados.

Conclusión

Las propiedades de los triángulos son la piedra angular de muchos conceptos geométricos. Al entender los tipos, propiedades y fórmulas relacionadas con los triángulos, uno puede resolver una amplia gama de problemas matemáticos. La habilidad para identificar diferentes tipos de triángulos y aplicar las propiedades y teoremas apropiados es una habilidad invaluable en matemáticas.


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