Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Criterios de congruencia en triángulos


La congruencia es un concepto importante en geometría, especialmente al estudiar triángulos. Entender cuándo los triángulos son congruentes ayuda a determinar sus propiedades y equivalencias. Se considera que dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y medida, aunque sus posiciones y orientaciones puedan diferir. Este concepto es esencial porque los triángulos congruentes tienen ángulos y lados correspondientes iguales.

En esta discusión detallada, exploraremos los diversos criterios utilizados para determinar la congruencia de un triángulo. Estos criterios nos ayudan a comprender e identificar correctamente los triángulos congruentes.

¿Qué es la congruencia?

La congruencia literalmente significa coincidencia en forma y tamaño. En matemáticas, cuando hablamos de triángulos congruentes, nos referimos a triángulos que son iguales en cuanto a su tamaño y forma. Esto significa que un triángulo puede superponerse exactamente a otro de la misma manera. Si dos triángulos son congruentes, todos los lados y ángulos correspondientes son iguales.

Comprender la congruencia

Para decir que dos triángulos son similares, necesitamos verificar que cumplen ciertos criterios. Antes de profundizar en estos criterios, veamos algunas propiedades básicas de los triángulos:

  • Un triángulo tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices.
  • La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180 grados.
  • Los triángulos se representan nombrando los vértices, como △ABC.

Criterios de conformidad

Existen varias reglas establecidas para verificar la congruencia de triángulos. Estas se nombran según las partes de los triángulos que se comparan. Los principales criterios son:

  1. Criterio de Lado-Lado-Lado (LLL)
  2. Criterio de Lado-Ángulo-Lado (LAL)
  3. Criterios de Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)
  4. Criterio de Ángulo-Ángulo-Lado (AAL)
  5. Criterio de Ángulo Recto-Hipotenusa-Lado (RHL)

Criterio de Lado-Lado-Lado (LLL)

Según el criterio LLL, si tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son similares. Esto asegura que los dos triángulos sean iguales en forma y tamaño ya que cada aspecto se compara directamente.

Consideremos un ejemplo:

Supongamos que tienes dos triángulos, △ABC y △DEF. Sus lados son los siguientes:

    AB = DE, BC = EF y CA = FD

Si estos lados son iguales respectivamente, entonces por el criterio LLL, △ABC ▼ △DEF.

Visualización:

A C B D F I

Aquí, △ABC y △DEF son congruentes ya que los tres lados son iguales en longitud.

Criterio de Lado-Ángulo-Lado (LAL)

El criterio LAL establece que si dos lados y el ángulo entre ellos en un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo entre ellos en otro triángulo, entonces los triángulos son similares. Esto significa que los ángulos adyacentes aseguran una orientación específica entre los lados.

Imaginemos △PQR y △XYZ:

    PQ = XZ, QR = YZ, y el ángulo ∠PQR = ∠XYZ

Si estas condiciones son válidas, entonces según el criterio LAL, △PQR ▼ △XYZ.

Visualización:

P R Q X Y Z

Aquí, los lados coincidentes y el ángulo entre ellos en ambos triángulos sugieren congruencia por LAL.

Criterios de Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)

Según el criterio ALA, si dos ángulos y el lado entre ellos en un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado entre ellos en otro triángulo, entonces esos triángulos son congruentes.

Por ejemplo, en los triángulos △GHI y △JKL:

    ∠GHI = ∠JKL, ∠IGH = ∠LJK, y el lado GH = JK

Si esto es cierto, entonces △GHI ▼ △JKL según los criterios ALA.

Visualización:

G I H J L K

En la ilustración anterior, los dos ángulos marcados y el lado incluido confirman la congruencia por ALA.

Criterio de Ángulo-Ángulo-Lado (AAL)

Según el criterio AAL, si dos ángulos y el lado no conectado correspondiente de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado no conectado correspondiente de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Consideremos los triángulos △MNO y △PQR:

    ∠NMO = ∠QPR, ∠NOM = ∠QRP, y el lado NO = QR

Bajo estas condiciones, △MNO ▼ △PQR según el criterio AAL.

Visualización:

M O N P R Q

Dado dos ángulos y lados correspondientes, los triángulos son congruentes por medio del AAL.

Criterio de Ángulo Recto-Hipotenusa-Lado (RHL)

El criterio RHL, a veces llamado el teorema de hipotenusa-lado (HL), se aplica específicamente a triángulos rectángulos. Establece que si la hipotenusa y un lado de un triángulo rectángulo son iguales a la hipotenusa y un lado de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Analicemos los triángulos △ABC y △DEF:

    Hipotenusa AC = DF y el lado AB = DE

Si la hipotenusa y un lado de los triángulos coinciden, entonces por el criterio RHL △ABC ▼ △DEF.

Visualización:

A C B F D E

Como se indica, dada la hipotenusa y un lado, el criterio de RHL confirma la congruencia de triángulos.

Conclusión

Entender la congruencia en triángulos ayuda a resolver muchos problemas de geometría al proporcionar una base sólida para identificar figuras similares. Los criterios LLL, LAL, ALA, AAL y RHL cubren los diversos casos y combinaciones de lados y ángulos necesarios para declarar dos triángulos congruentes. Aunque la naturaleza abstracta de la geometría puede ser desafiante al principio, estos criterios simplifican el proceso al reducir la comparación a reglas manejables.

Aprender bien estos conceptos sienta las bases para temas más avanzados en geometría, como la similitud y las transformaciones geométricas que dependen en gran medida de principios de congruencia. El dominio de la congruencia se extiende más allá del aula, proporcionando habilidades de pensamiento crítico y analítico aplicables en una variedad de campos STEM.


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