Congruência de triângulos

Na geometria, o conceito de congruência é fundamental. Figuras congruentes são aquelas que têm a mesma forma e tamanho. Destas, os triângulos são uma das formas básicas que estudamos, e entender sua congruência é importante. Esta longa discussão levará você passo a passo através dos diferentes aspectos da congruência de triângulos, usando uma linguagem simples e incluindo muitos exemplos.

O que é congruência?

Congruência na geometria é um termo usado para descrever uma situação em que duas figuras são semelhantes em forma e dimensões. Triângulos congruentes são triângulos que são cópias exatas uns dos outros em termos de tamanho e forma. Quando são sobrepostos uns aos outros, podem coincidir completamente.

Na notação matemática, "△ABC ≅ △DEF" indica que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF. Aqui, o símbolo "≅" indica congruência.

Propriedades básicas de triângulos congruentes

Todos os lados e ângulos correspondentes de triângulos congruentes são iguais. Assim, se dois triângulos são congruentes, então seus:

• Lados correspondentes são iguais.
• Ângulos correspondentes são iguais.

Por exemplo, nos triângulos congruentes △ABC e △DEF:

AB = DE BC = EF CA = FD ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F

Critérios de conformidade

Certos critérios ou condições devem ser atendidos para que dois triângulos sejam considerados congruentes. Esses critérios são essenciais porque permitem encontrar a congruência sem medir todos os lados e ângulos. Existem quatro critérios principais usados ​​para provar a congruência dos triângulos: São:

Critério lado-lado-lado (LLL)

Se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. Vamos explicar isso com um exemplo simples:

Considere △ABC e △DEF onde:

AB = DE = 4 cm BC = EF = 5 cm CA = FD = 6 cm

Como todos os três lados correspondentes são iguais, pelo critério LLL, △ABC ≅ △DEF.

Critério ângulo-lado-ângulo (ALA)

Se dois ângulos e o lado correspondente entre eles em um triângulo são iguais a dois ângulos e o lado correspondente entre eles em outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Por exemplo, em △ABC e △DEF, se:

∠A = ∠D = 60° ∠B = ∠E = 40° AB = DE = 5 cm

Então, pelo critério ALA, △ABC ≅ △DEF.

Critério ângulo-ângulo-lado (AAL)

Se dois ângulos e um lado não conectado de um triângulo forem iguais a dois ângulos e o lado não conectado correspondente de outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes.

Considere △ABC e △DEF, onde:

∠A = ∠D = 45° ∠B = ∠E = 55° BC = EF = 7 cm

Aplicando o critério AAL, obtemos que △ABC ≅ △DEF.

Critério lado-ângulo-lado (LAL)

Se dois lados e o ângulo entre eles em um triângulo são iguais a dois lados e o ângulo correspondente entre eles em outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Referindo-se aos triângulos △ABC e △DEF, se:

AB = DE = 8 cm BC = EF = 10 cm ∠B = ∠E = 70°

Então, pelo critério LAL, △ABC ≅ △DEF.

Alguns exemplos práticos de congruência de triângulos

Vamos aplicar o que aprendemos a alguns exemplos que você pode encontrar em exercícios ou cenários da vida real.

Exemplo 1: Design de edifícios e roupas

Suponha que um designer têxtil queira criar dois padrões triangulares idênticos para pedaços de tecido. Para garantir a simetria, ele deve garantir que os critérios LLL, ALA, AAL ou LAL sejam satisfeitos ao medir seu tecido.

Solução: Medindo e cortando peças de tecido de forma que todos os lados correspondam aos comprimentos dos triângulos previamente cortados, o critério LLL é aplicado, o que garante que todas as peças de tecido sejam idênticas.

Exemplo 2: Engenharia e construção

Na construção, garantir que os suportes estruturais tenham suportes triangulares idênticos pode aumentar muito a estabilidade. Isso pode ser importante ao projetar arcos ou treliças.

Solução: Suponha que seja necessário que os lados e ângulos correspondentes de dois triângulos em uma treliça correspondam. Verificando se a combinação de lados e ângulos é congruente de acordo com o critério LAL ou ALA, os engenheiros podem garantir que cada suporte seja congruente, garantindo que a integridade estrutural seja mantida.

Determinando a conformidade na resolução de problemas

Ao resolver problemas geométricos, determinar triângulos semelhantes pode facilitar a busca de medidas de lados ou ângulos desconhecidos. A aplicação dos critérios de congruência permite deduzir medidas semelhantes sem medir cada lado ou ângulo.

Exemplo 3: Resolver para valores desconhecidos

Dado dois triângulos △MNP e △QRS, encontre o valor de x se:

MN = x + 5 NP = 10 cm MP = 8 cm QR = 15 cm RS = 10 cm QS = 8 cm

Solução: De acordo com o critério de congruência LLL, como NP = RS e MP = QS, então MN deve ser igual a QR para estabelecer a congruência. Assim, x + 5 = 15 Resolvendo para x, obtemos:

x + 5 = 15 x = 10

Exploração interativa da conformidade

Construir triângulos pode ser uma maneira envolvente de explorar e entender a congruência de maneira prática, usando ferramentas como compasso, transferidor e régua para construir triângulos congruentes sob diferentes critérios.

Exemplo 4: Atividade em sala de aula

Os alunos da classe podem ser agrupados e receber conjuntos de ângulos e comprimentos de lados predeterminados. Construindo triângulos fisicamente e testando a congruência usando medições e desenhos do mundo real, os alunos podem começar a entender o conceito de congruência de triângulos. Vamos fortalecer o.

Conclusão

Entender o conceito de congruência em triângulos é um aspecto fundamental da geometria, servindo como base para princípios geométricos mais complexos. Estudantes e profissionais podem se beneficiar ao dominar os critérios de congruência - LLL, ALA, AAL e LAL. podem resolver problemas geométricos de forma eficaz, garantindo medições e construções precisas em matemática, engenharia, arquitetura e além.

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