Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Congruencia de triángulos


En geometría, el concepto de congruencia es fundamental. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y tamaño. De estas, los triángulos son una de las formas básicas que estudiamos, y entender su congruencia es importante. Esta larga discusión lo llevará paso a paso a través de los diferentes aspectos de la congruencia de triángulos, usando un lenguaje simple e incluyendo muchos ejemplos.

¿Qué es la congruencia?

La congruencia en geometría es un término utilizado para describir una situación en la que dos figuras son similares en forma y dimensiones. Los triángulos congruentes son triángulos que son copias exactas entre sí en términos de tamaño y forma. Cuando se superponen, pueden coincidir completamente.

En notación matemática, "△ABC ≅ △DEF" indica que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF. Aquí, el símbolo "≅" indica congruencia.

Propiedades básicas de los triángulos congruentes

Todos los lados y ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales. Por lo tanto, si dos triángulos son congruentes, entonces sus:

  • Lados correspondientes son iguales.
  • Ángulos correspondientes son iguales.

Por ejemplo, en los triángulos congruentes △ABC y △DEF:

AB = DE BC = EF CA = FD ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F

Criterios para la conformidad

Se deben cumplir ciertos criterios o condiciones para que dos triángulos se consideren congruentes. Estos criterios son esenciales porque nos permiten encontrar la congruencia sin medir todos los lados y ángulos. Hay cuatro criterios principales utilizados para probar la congruencia de triángulos: Son:

Criterio de lado-lado-lado (SSS)

Si tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Vamos a explicar esto con un ejemplo simple:

Considere △ABC y △DEF donde:

AB = DE = 4 cm BC = EF = 5 cm CA = FD = 6 cm

Dado que los tres lados correspondientes son iguales, por el criterio SSS, △ABC ≅ △DEF.

ABCDIF

Criterio de ángulo-lado-ángulo (ASA)

Si dos ángulos y el lado correspondiente entre ellos en un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado correspondiente entre ellos en otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Por ejemplo, en △ABC y △DEF, si:

∠A = ∠D = 60° ∠B = ∠E = 40° AB = DE = 5 cm

Entonces por el criterio ASA, △ABC ≅ △DEF.

ABCDIF

Criterio de ángulo-ángulo-lado (AAS)

Si dos ángulos y un lado no conectado de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado no conectado correspondiente de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Considere △ABC y △DEF, donde:

∠A = ∠D = 45° ∠B = ∠E = 55° BC = EF = 7 cm

Aplicando el criterio AAS, obtenemos que △ABC ≅ △DEF.

Criterio de lado-ángulo-lado (SAS)

Si dos lados y el ángulo entre ellos en un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo correspondiente entre ellos en otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Refiriéndose a los triángulos △ABC y △DEF, si:

AB = DE = 8 cm BC = EF = 10 cm ∠B = ∠E = 70°

Entonces, por el criterio SAS, △ABC ≅ △DEF.

Algunos ejemplos prácticos de congruencia de triángulos

Apliquemos lo que hemos aprendido a algunos ejemplos que podrías encontrar en ejercicios o escenarios de la vida real.

Ejemplo 1: Diseño de construcción y ropa

Supongamos que un diseñador textil quiere crear dos patrones triangulares idénticos para piezas de tela. Para asegurar la simetría, debe asegurarse de que se cumplan los criterios SSS, ASA, AAS o SAS al medir su tela.

Solución: Midiendo y cortando piezas de tela de manera que todos los lados correspondan a las longitudes de los triángulos previamente cortados, se aplica el criterio SSS, lo que garantiza que todas las piezas de tela sean idénticas.

Ejemplo 2: Ingeniería y construcción

En la construcción, asegurar que los soportes estructurales tengan esquinas triangulares idénticas puede aumentar significativamente la estabilidad. Esto puede ser importante al diseñar arcos o cerchas.

Solución: Supongamos que se requiere que los lados y ángulos correspondientes de dos triángulos en una cercha coincidan. Al verificar que la combinación de lados y ángulos sea congruente según el criterio SAS o ASA, los ingenieros pueden garantizar que cada esquina sea congruente, de modo que se mantenga la integridad estructural.

Determinación de la conformidad en la resolución de problemas

Al resolver problemas geométricos, determinar triángulos similares puede facilitar la búsqueda de las medidas de lados o ángulos desconocidos. Aplicar los criterios de congruencia permite deducir medidas similares sin medir cada lado o ángulo.

Ejemplo 3: Resolviendo valores desconocidos

Dado dos triángulos △MNP y △QRS, encuentre el valor de x si:

MN = x + 5 NP = 10 cm MP = 8 cm QR = 15 cm RS = 10 cm QS = 8 cm

Solución: De acuerdo con el criterio de congruencia SSS, dado que NP = RS y MP = QS, entonces MN debe ser igual a QR para establecer la congruencia. Por lo tanto, x + 5 = 15 Resolviendo para x obtenemos:

x + 5 = 15 x = 10

Exploración interactiva de la conformidad

Construir triángulos puede ser una forma atractiva de explorar y comprender la congruencia de manera práctica, utilizando herramientas como un compás, un transportador y una regla para construir triángulos congruentes bajo diferentes criterios.

Ejemplo 4: Actividad en el aula

Los estudiantes de la clase pueden agruparse y recibir conjuntos de ángulos y longitudes de lados predeterminados. Al construir físicamente triángulos y probar la congruencia utilizando medidas y dibujos del mundo real, los estudiantes pueden comenzar a comprender el concepto de congruencia de triángulos. Vamos a fortalecerlo.

Conclusión

Entender el concepto de congruencia en triángulos es un aspecto fundamental de la geometría, sirviendo como base para principios geométricos más complejos. Tanto estudiantes como profesionales pueden beneficiarse al dominar los criterios de congruencia - SSS, ASA, AAS y SAS. pueden resolver problemas geométricos de manera efectiva, asegurando la medición y construcción precisa en matemáticas, ingeniería, arquitectura y más allá.


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