Класс 9
  1. Числовые системы  1.1. Понимание действительных чисел  1.2. Рациональные числа  1.3. Иррациональные числа  1.4. Свойства действительных чисел  1.5. Законы степеней и радикалов  1.6. Представление на числовой прямой  1.7. Десятичное представление действительных чисел
  2. Многочлены  2.1. Определение и виды многочленов  2.2. Степень многочлена  2.3. Нули многочлена  2.4. Введение в теорему о остатке  2.5. Разложение многочленов  2.6. Понимание алгебраических тождеств  2.7. Полиномиальные уравнения и корни
  3. Координатная геометрия  3.1. Картезианская система  3.2. Рисование точек на плоскости  3.3. Понимание формулы расстояния в координатной геометрии  3.4. Формула отрезка  3.5. Площадь треугольника  3.6. Координаты середины и центра тяжести
  4. Линейные уравнения с двумя переменными  4.1. Решения линейного уравнения  4.2. Графический метод  4.3. Алгебраический метод решения линейных уравнений с двумя переменными  4.4. Понимание применения линейных уравнений с двумя переменными  4.5. Введение в линейные неравенства с двумя переменными
  5. Введение в евклидову геометрию  5.1. Основные определения и термины в евклидовой геометрии  5.2. Аксиомы и постулаты  5.3. Теоремы об углах и линиях  5.4. Свойства параллельных линий  5.5. Построение треугольников  5.6. Аксиома конгруентности
  6. Прямые и углы  6.1. Понимание отношений угловых пар  6.2. Параллельные линии и поперечные линии  6.3. Свойства углов, образованных параллельными линиями  6.4. Сумма углов треугольника  6.5. Типы углов
  7. Треугольник  7.1. Конгруэнтность треугольников  7.2. Критерии конгруэнтности в треугольниках  7.3. Свойства треугольников  7.4. Неравенства в треугольнике  7.5. Сходство треугольников  7.6. Теорема Пифагора
  8. Четырехугольник  8.1. Свойства четырехугольников  8.2. Типы четырехугольников  8.3. Теорема о середине в четырехугольниках  8.4. Свойства параллелограмма  8.5. Свойства трапеции и ромба  8.6. Диагонали и их свойства
  9. Площади параллелограммов и треугольников  9.1. Площадь параллелограмма  9.2. Понимание площади треугольника  9.3. Доказательства теории площадей  9.4. Применение теории полей
  10. Понимание кругов  10.1. Определения и терминология  10.2. Свойства круга  10.3. Понимание свойств хордов в окружностях  10.4. Касательные к окружности  10.5. Циклический четырехугольник  10.6. Понимание дуг и углов, образуемых в кругах
  11. Строительство  11.1. Основные конструкции  11.2. Построение биссектрисы  11.3. Построение треугольников  11.4. Построение касательных к окружности  11.5. Построение углов заданной величины
  12. Понимание формулы Герона  12.1. Площадь треугольника с использованием формулы Герона  12.2. Использование формулы Герона для различных треугольников и четырехугольников  12.3. Доказательство формулы Герона
  13. Площадь поверхности и объем  13.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  13.2. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  13.3. Площадь поверхности и объем конуса  13.4. Площадь поверхности и объем сферы и полусферы  13.5. Преобразование единиц измерения  13.6. Объем призмы
  14. Числа  14.1. Сбор данных  14.2. Представление данных  14.3. Введение в меры центральной тенденции  14.4. Среднее, медиана и мода  14.5. Графическое представление данных  14.6. Объем и измерение дисперсии
  15. Понимание вероятности  15.1. Введение в теорию вероятностей  15.2. Экспериментальная вероятность  15.3. Теоретическая вероятность  15.4. Простые задачи по вероятности

Класс 9 → Введение в евклидову геометрию ↓


Аксиома конгруентности


Аксиомы конгруентности — это фундаментальные принципы евклидовой геометрии, утверждающие, что две фигуры или формы конгруэнтны. Проще говоря, две геометрические фигуры конгруэнтны, если они имеют одинаковую форму и размер, но их положение или ориентация могут отличаться. Эта концепция важна в геометрии, потому что она позволяет нам понимать и доказывать различные свойства фигур и форм, используя общий набор правил. Давайте углубимся в изучение аксиом конгруентности.

Основные понятия

Прежде чем углубляться в аксиомы, давайте проясним некоторые базовые понятия:

1. Точки

Точка — это точное местоположение в пространстве. Она не имеет размеров, то есть не имеет длины, ширины или высоты.

2. Линии

Линия — это прямая одномерная фигура, которая простирается до бесконечности в обоих направлениях. Она состоит из бесконечного количества точек.

3. Углы

Угол формируется, когда два луча пересекаются в одной и той же конечной точке. Углы измеряются в градусах.

4. Треугольники

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами. Сумма его внутренних углов всегда равна 180 градусам.

5. Конгруэнтные фигуры

Две фигуры являются подобными, если одна может быть преобразована в другую посредством перемещения, вращения или отражения без изменения ее размера или формы.

Аксиома конгруентности

Существует несколько аксиом или критериев конгруентности в геометрии, которые помогают определить, являются ли два треугольника конгруэнтными. К ним относятся:

1. Конгруентность по трем сторонам (SSS)

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

A B A' B'

На приведенной выше иллюстрации треугольник ABC эквивалентен треугольнику A'B'C', так как все три соответствующие стороны равны по длине.

2. Конгруентность по стороне и углу (SAS)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

A B A' B'

На приведенной выше иллюстрации треугольники ABC и A'B'C' конгруэнтны, так как их две стороны и угол между ними равны.

3. Конгруентность по углу и стороне (ASA)

Если два угла и включенная сторона одного треугольника равны двум углам и включенной стороне другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

A B A' B'

В приведенных выше треугольниках два угла и сторона между ними равны, что делает их конгруэнтными.

4. Конгруентность по углу и неприкрепленной стороне (AAS)

Если два угла и неприкрепленная сторона одного треугольника равны двум углам и соответствующей неприкрепленной стороне другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

A B A' B'

Углы и стороны этих двух треугольников равны, что подтверждает их конгруэнтность.

5. Конгруентность по прямому углу и гипотенузе (RHS)

В прямоугольных треугольниках, если гипотенуза и сторона одного треугольника равны гипотенузе и стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

90° 90°

Гипотенузы и стороны этих двух прямоугольных треугольников равны, что устанавливает их конгруэнтность при специфических условиях.

Подробный пример

Пример 1: Конгруентность по трем сторонам (SSS)

Рассмотрим треугольники DEF и GHI.

DE = 5 см, EF = 7 см, DF = 9 см
GH = 5 см, HI = 7 см, GI = 9 см

Поскольку все соответствующие стороны равны, треугольник DEF конгруэнтен треугольнику GHI по критерию SSS.

Пример 2: Конгруентность по углу и стороне (ASA)

Рассмотрим треугольники JKL и LMN.

∠J = 45°, ∠K = 70°, JK = 6 см
∠L = 45°, ∠M = 70°, LM = 6 см

Треугольники имеют два равных угла и включенные стороны, что делает их конгруэнтными по критерию ASA.

Визуализация конформных преобразований

Аксиомы конгруентности не являются чисто математическими, они имеют практическое применение через преобразования. Давайте визуализируем, как преобразования сохраняют конгруэнтность:

Перемещение

Это означает перемещение фигуры без ее вращения или изменения размера. Посмотрите, как треугольник PQR движется к треугольнику P'Q'R'.

P Q R

Вращение

Это включает вращение фигуры вокруг точки. Представьте треугольник PQR, вращающийся вокруг точки P.

Отражение

Это преобразование поворота создает зеркальное изображение. Треугольник PQR отражается через прямую и становится P'Q'R'.

Заключение

Понимание аксиом конгруентности обеспечивает твердую основу в геометрии, облегчая изучение геометрических фигур, доказательств и решение задач. Овладение этими концепциями поддерживает строгий подход в математических контекстах и ведет к более широкому изучению математики и науки. Развивает важные пространственные навыки.


Класс 9 → 5.6


U
username
0%
завершено в Класс 9

← предыдущая (5.5)
Построение треугольников
следующая (6) →
Прямые и углы

комментарии 



Аксиома конгруентности

https://www.buddymath.com/g9/5.6?bmal=ru