9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Axioma de Congruência


Os axiomas de congruência são princípios fundamentais na geometria euclidiana que indicam quando duas figuras ou formas são congruentes. Em termos simples, duas figuras geométricas são congruentes se tiverem a mesma forma e tamanho, mas sua posição ou orientação pode ser diferente. Este conceito é importante na geometria porque nos permite entender e provar várias propriedades de formas e figuras usando um conjunto comum de regras. Vamos explorar os axiomas de congruência em profundidade.

Conceitos básicos

Antes de mergulhar nos axiomas, vamos esclarecer alguns conceitos básicos:

1. Pontos

Um ponto é uma localização precisa no espaço. Não possui dimensões, ou seja, não possui comprimento, largura ou altura.

2. Linhas

Uma linha é uma figura unidimensional reta que se estende infinitamente em ambas as direções. É composta por infinitos pontos.

3. Ângulo

Um ângulo é formado quando dois raios se encontram no mesmo ponto final. Ângulos são medidos em graus.

4. Triângulos

Um triângulo é um polígono de três lados. A soma de seus ângulos internos é sempre 180 graus.

5. Figuras Congruentes

Duas figuras são similares se uma pode ser transformada na outra através de translação, rotação ou reflexão sem alterar seu tamanho ou forma.

Axioma de Congruência

Existem vários axiomas ou critérios de congruência na geometria que nos ajudam a determinar se dois triângulos são congruentes. Estes incluem:

1. Congruência Lado-Lado-Lado (LLL)

Se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.

A B A' B'

No figura acima, o triângulo ABC é equivalente ao triângulo A'B'C' pois todos os três lados correspondentes são de comprimento igual.

2. Congruência Lado-Ângulo-Lado (LAL)

Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

A B A' B'

No figura acima, os triângulos ABC e A'B'C' são congruentes porque seus dois lados e o ângulo entre eles são iguais.

3. Congruência Ângulo-Lado-Ângulo (ALA)

Se dois ângulos e seu lado incluído de um triângulo são iguais a dois ângulos e seu lado incluído de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.

A B A' B'

No figura acima, dois ângulos e o lado entre eles de ambos os triângulos são iguais, tornando-os congruentes.

4. Congruência Ângulo-Ângulo-Lado (AAL)

Se dois ângulos e um lado não conectado de um triângulo são iguais a dois ângulos e o lado correspondente não conectado de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

A B A' B'

Os triângulos nesta figura têm dois ângulos iguais e um lado igual que não está entre os dois ângulos, o que confirma sua congruência.

5. Congruência do ângulo reto da hipotenusa (ARH)

Em triângulos retângulos, se a hipotenusa e um lado de um triângulo são iguais à hipotenusa e um lado do outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

90° 90°

A hipotenusa e os lados desses dois triângulos retângulos são iguais, o que estabelece a congruência sob suas condições específicas.

Exemplo detalhado

Exemplo 1: Congruência LLL

Considere os triângulos DEF e GHI.

DE = 5 cm, EF = 7 cm, DF = 9 cm
GH = 5 cm, HI = 7 cm, GI = 9 cm

Como todos os lados correspondentes são iguais, o triângulo DEF é congruente ao triângulo GHI por congruência LLL.

Exemplo 2: Congruência ALA

Considere os triângulos JKL e LMN.

∠J = 45°, ∠K = 70°, JK = 6 cm
∠L = 45°, ∠M = 70°, LM = 6 cm

Os triângulos têm dois ângulos retos e lados incluídos, o que os torna congruentes por congruência ALA.

Visualizando transformações conformacionais

Os axiomas de congruência não são puramente matemáticos, mas têm aplicações práticas através de transformações. Vamos visualizar como as transformações preservam a congruência:

Translação

Isso significa mover uma forma sem girá-la ou alterar seu tamanho. Veja o triângulo PQR movendo-se em direção ao triângulo P'Q'R'.

P Q R

Rotação

Envolve girar uma figura em torno de um ponto. Imagine o triângulo PQR girando em torno do ponto P.

Reflexão

Essa transformação de espelhamento resulta na formação de uma imagem espelhada. O triângulo PQR é refletido em uma linha e se torna P'Q'R'.

Conclusão

Entender os axiomas de congruência fornece uma base sólida na geometria, facilitando a exploração de formas geométricas, provas e resolução de problemas. O domínio desses conceitos apoia a aplicação rigorosa em contextos matemáticos e leva a um estudo mais amplo de matemática e ciência. Aperfeiçoa habilidades essenciais de raciocínio espacial.


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Axioma de Congruência

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