Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Axioma de congruencia


Los axiomas de congruencia son principios fundamentales en la geometría euclidiana que establecen cuándo dos figuras o formas son congruentes. En términos simples, dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, pero su posición u orientación pueden ser diferentes. Este concepto es importante en la geometría porque nos permite entender y probar diversas propiedades de formas y figuras utilizando un conjunto común de reglas. Exploremos los axiomas de congruencia en profundidad.

Conceptos básicos

Antes de adentrarnos en los axiomas, aclaremos algunos conceptos básicos:

1. Puntos

Un punto es una ubicación precisa en el espacio. No tiene dimensiones, es decir, no tiene longitud, anchura ni altura.

2. Líneas

Una línea es una figura unidimensional recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Está compuesta por infinitos puntos.

3. Ángulo

Un ángulo se forma cuando dos rayos se cruzan en el mismo extremo. Los ángulos se miden en grados.

4. Triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados. La suma de sus ángulos interiores es siempre 180 grados.

5. Figuras congruentes

Dos figuras son congruentes si una se puede transformar en la otra mediante traslación, rotación o reflexión sin cambiar su tamaño o forma.

Axioma de congruencia

Existen varios axiomas o criterios de congruencia en la geometría que nos ayudan a determinar si dos triángulos son congruentes. Estos incluyen:

1. Congruencia Lado-Lado-Lado (LLL)

Si tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo, entonces esos triángulos son congruentes.

A B A' B'

En la figura anterior, el triángulo ABC es equivalente al triángulo A'B'C' ya que los tres lados correspondientes son de igual longitud.

2. Congruencia Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

A B A' B'

En la figura anterior, los triángulos ABC y A'B'C' son congruentes porque sus dos lados y el ángulo entre ellos son iguales.

3. Congruencia Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)

Si dos ángulos y su lado incluido de un triángulo son iguales a dos ángulos y su lado incluido de otro triángulo, entonces esos triángulos son congruentes.

A B A' B'

En la figura anterior, dos ángulos y el lado entre ellos de ambos triángulos son iguales, haciéndolos congruentes.

4. Congruencia Ángulo-Ángulo-Lado (AAL)

Si dos ángulos y un lado no conectado de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado correspondiente no conectado de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

A B A' B'

Los triángulos en esta figura tienen dos ángulos iguales y un lado igual que no está entre los dos ángulos, lo que confirma su congruencia.

5. Congruencia de ángulo recto e hipotenusa (ARH)

En triángulos rectángulos, si la hipotenusa y un lado de un triángulo son iguales a la hipotenusa y un lado del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

90° 90°

La hipotenusa y los lados de estos dos triángulos rectángulos son iguales, lo que establece la congruencia bajo sus condiciones específicas.

Ejemplo detallado

Ejemplo 1: Congruencia LLL

Consideremos los triángulos DEF y GHI.

DE = 5 cm, EF = 7 cm, DF = 9 cm
GH = 5 cm, HI = 7 cm, GI = 9 cm

Como todos los lados correspondientes son iguales, el triángulo DEF es congruente al triángulo GHI por congruencia LLL.

Ejemplo 2: Congruencia ALA

Consideremos los triángulos JKL y LMN.

∠J = 45°, ∠K = 70°, JK = 6 cm
∠L = 45°, ∠M = 70°, LM = 6 cm

Los triángulos tienen dos ángulos rectos y lados incluidos, lo que los hace congruentes por congruencia ALA.

Visualizando transformaciones conformacionales

Los axiomas de congruencia no son puramente matemáticos, sino que tienen aplicaciones prácticas a través de transformaciones. Visualicemos cómo las transformaciones preservan la congruencia:

Traslación

Esto significa mover una forma sin rotarla ni cambiar su tamaño. Observa cómo el triángulo PQR se mueve hacia el triángulo P'Q'R'.

P Q R

Rotación

Implica rotar una figura alrededor de un punto. Imagina el triángulo PQR rotando alrededor del punto P.

Reflexión

Esta transformación de volteo resulta en la formación de una imagen en espejo. El triángulo PQR se refleja a través de una línea y se convierte en P'Q'R'.

Conclusión

Entender los axiomas de congruencia proporciona una base sólida en la geometría, facilitando la exploración de formas geométricas, pruebas y resolución de problemas. El dominio de estos conceptos apoya la aplicación rigurosa en contextos matemáticos y conduce a un estudio más amplio de las matemáticas y la ciencia. Mejora las habilidades esenciales de razonamiento espacial.


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Axioma de congruencia

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