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公理和假设

当我们开始学习几何，特别是欧几里得几何时，我们会遇到两个基本术语：公理和假设。这些概念构成了欧几里得几何结构的基石。理解这些概念非常重要，因为这些是定义整个几何宇宙的基本假设。没有这些，我们将没有起点来构建我们的几何理论。

什么是公理和假设？

公理和假设是无需证明即可接受的陈述或命题。它们被视为公理性的真理。在数学中，特别是在几何中，这些陈述是定理和其他复杂结构的构建块。

公理

公理是普遍接受为真的陈述，并且具有普遍性。它们不仅限于几何，适用于数学的许多领域。公理是构成数学逻辑的基本真理。

例如：

与同一事物相等的事物彼此也相等。
如果相等的事物被加到相等的事物上，则整体变得相等。
整体大于部分。

让我们仔细看一下这个公式，“如果相等的事物被加到相等的事物上，则整体会相等”。这表明如果我们有两个相等的量，并且将相同的量加到每个量上，结果仍然相等。

考虑数字：如果a = b并且都被加到另一个数字c上，则a + c = b + c。

这样的公理是基本的，因为它们不需要任何证明。它们被接受为真，并构成用于数学逻辑的骨干。

假设

另一方面，假设是特定于几何的。它们是在几何上下文中被认为是真实的陈述。它们作为欧几里得几何的基本“规则”。

一些著名的欧几里得定理如下：

任意两点可以连接成一条直线。
一条直线可以无限延长。
可以用任意中心和任意半径画一个圆。
所有直角都是全等的。
如果两条直线被另一条直线（横断线）相交，并且同一侧的内角小于两个直角，则如果它们延伸足够远，这两条直线最终将在该侧相遇。

让我们更深入地了解其中一个以更好地理解：“可以连接任意两点的一条线段”。这意味着如果你有两个不同的点，你总是可以用一条直线将它们连接起来。这是如此显而易见，我们可以不加证明地接受它，这就是为什么它是一个假设。

视觉示例和解释

公理的示例

让我们用一个公理通过可视化来展示一个简单的真理：

公理是：“整体大于部分。”

在上图中，AB是AC的一部分。根据“整体大于部分”的原则，AC必须始终大于AB。这个概念与我们对测量和距离的理解是一致的。

假设的示例

让我们澄清一个原则，“可以用任何中心和任何半径画一个圆。”

此插图显示了我们如何使用指定的中心和半径来创建一个圆。这种基本能力是几何的基础，并有助于定义什么是圆。