Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Axiomas y postulados


Cuando empezamos a estudiar geometría, especialmente la geometría euclidiana, nos encontramos con dos términos fundamentales: axiomas y postulados. Estos conceptos forman la piedra angular sobre la cual se construye toda la estructura de la geometría euclidiana. Es muy importante entender estos conceptos porque son supuestos básicos que definen todo el universo geométrico para nosotros. Sin ellos, no tendríamos un punto de partida para construir nuestras teorías geométricas.

¿Qué son los axiomas y postulados?

Los axiomas y postulados son declaraciones o proposiciones que se aceptan sin ninguna prueba. Se consideran verdades axiomáticas. En matemáticas, y especialmente en geometría, estas declaraciones sirven como los bloques de construcción de teoremas y otras estructuras complejas.

Axiomas

Los axiomas son declaraciones que generalmente se aceptan como verdaderas y son universales. No se limitan a la geometría y se aplican a muchas áreas de las matemáticas. Los axiomas son verdades fundamentales que forman la base de la lógica matemática.

Por ejemplo:

  • Cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales entre sí.
  • Si iguales se suman a iguales, los totales se hacen iguales.
  • El todo es mayor que la parte.

Echemos un vistazo más de cerca a esta fórmula: "Si iguales se suman a iguales, los totales serán iguales". Esto muestra que si tenemos dos cantidades iguales y añadimos la misma cantidad a cada una, los resultados siguen siendo iguales.

Consideremos los números: si a = b y ambos se suman a otro número c, entonces a + c = b + c.

Tales axiomas son fundamentales porque no requieren ninguna prueba. Se aceptan como verdaderos y forman el respaldo de la lógica utilizada en matemáticas.

Postulados

Los postulados, por otro lado, son específicos de la geometría. Son declaraciones que se asumen como verdaderas dentro del contexto de la geometría. Sirven como las "reglas" fundamentales para la geometría euclidiana.

Algunos de los teoremas famosos de Euclides son los siguientes:

  • Se puede trazar una línea recta uniendo dos puntos cualesquiera.
  • Una línea recta se puede extender indefinidamente en línea recta.
  • Se puede trazar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
  • Todos los ángulos rectos son congruentes.
  • Si dos líneas son intersectadas por otra línea (una transversal) y los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son menores que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas eventualmente se encontrarán en ese lado si se extienden lo suficiente.

Echemos un vistazo más profundo a uno de estos para entender mejor: "Se puede dibujar un segmento de línea recta uniendo dos puntos cualesquiera". Esto significa que si tienes dos puntos distintos, siempre puedes unirlos con una línea recta. Esto es tan obvio que podemos aceptarlo sin ninguna prueba, por lo que es un postulado.

Ejemplos visuales y explicaciones

Ejemplo de axiomas

Demostremos una verdad simple con una ayuda visual usando un axioma:

El axioma es, "El todo es mayor que la parte".

A B C (A a B) + (B a C) = (A a C)

En la figura anterior, AB es una parte de AC. Según el principio "el todo es mayor que la parte", AC siempre debe ser mayor que AB. Este concepto es consistente con nuestra comprensión de la medición y la distancia.

Ejemplo de postulados

Aclararemos un principio, "Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y cualquier radio".

Centro radio

Esta ilustración muestra cómo podemos crear un círculo con un centro y un radio especificados. Esta habilidad fundamental es básica en la geometría y ayuda a definir qué es un círculo.

Uso de axiomas y postulados en geometría

En geometría, los axiomas y postulados juegan un papel importante en el desarrollo de teorías y pruebas posteriores. Forman el fundamento inicial, que nos ayuda a deducir resultados más complejos.

Formulando el teorema

Un teorema es una declaración que se prueba en base a axiomas, postulados y teoremas previamente establecidos. Sin axiomas y postulados, sería imposible probar cualquier propiedad geométrica.

Consideremos el famoso teorema de Pitágoras. Este teorema establece:

    En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados.

Para probar este teorema, uno puede partir de los axiomas y suposiciones básicas, utilizando el razonamiento lógico y verdades ya establecidas.

Resolución de problemas

Veamos cómo se utilizan los axiomas y postulados en la resolución de problemas:

Problema: Probar que los lados opuestos del paralelogramo son iguales.

Dado: Paralelogramo ABCD con lados opuestos AB = CD y AD = BC.

Solución:

  1. Consideremos los triángulos ABD y CDB.
  2. AB = CD (lados opuestos de un paralelogramo son iguales)
  3. AD = BC (lados opuestos de un paralelogramo son iguales)
  4. BD es común a ambos triángulos.
  5. De acuerdo con el axioma, "cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales", los triángulos ABD y CDB son congruentes.
  6. Por lo tanto, AB = CD y AD = BC.

Entonces, hemos utilizado axiomas para probar el enunciado del problema. Tales técnicas de resolución de problemas son esenciales para comprender y aplicar la geometría.

Conclusión

Los axiomas y postulados sirven como base de la geometría euclidiana. Sin estas verdades evidentes, no sería posible construir un razonamiento geométrico significativo o establecer muchos de los teoremas que definen la materia. Ayudan a prefijar nociones universalmente aceptadas para extraer otros aspectos menos obvios.

Desde "se puede dibujar una línea recta a través de dos puntos cualesquiera" hasta "el todo es mayor que la parte", estos conceptos básicos son cruciales para cada capa subsiguiente de educación y razonamiento geométrico. A través de la práctica constante y la aplicación de estos principios fundamentales, continuamos explorando el mundo detallado y fascinante de la geometría euclidiana.


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Axiomas y postulados

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