Линейные уравнения с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными — это математическое выражение, которое приравнивает линейный многочлен к константе. Этот тип уравнения можно выразить как:

ax + by = c

где a, b и c — действительные числа, а x и y — переменные. Например:

2x + 3y = 6
5x – y = 4
-3x + 2y = -12

Понимание линейных уравнений

Линейные уравнения с двумя переменными представляют собой прямые линии при отображении на декартовой плоскости. Общая форма уравнения может быть преобразована в форму с угловым коэффициентом:

y = mx + b

где m — наклон линии, а b — ордината в точке пересечения с осью y. Вот как можно преобразовать обычную форму:

ax + by = c => by = -ax + c => y = (-a/b)x + (c/b)

Пример 1: Преобразование уравнения

Преобразуем уравнение 2x + 3y = 6 в форму с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 6
3y = -2x + 6
y = (-2/3)x + 2

Наклон равен -2/3, а ордината в точке пересечения с осью y равна 2.

Графическое представление

Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными, отметьте точки, которые удовлетворяют уравнению, и проведите линию через них. Рассмотрим уравнение y = 2x + 1.

В этом примере мы отметили точки (0, 1), (1, 3) и (-1, -1) и провели линию через них. Эта линия является графическим представлением уравнения y = 2x + 1.

Решение линейных уравнений

Решение линейного уравнения с двумя переменными — это набор всех точек (x, y), которые удовлетворяют уравнению. Эти точки лежат на линии, представляемой уравнением.

Пример 2: Нахождение решения

Найдем два решения уравнения x - y = 2.

1. Выбрать x = 0: 
   0 - y = 2 
   => y = -2 
   Решение: (0, -2)

2. Выбрать x = 4: 
   4 – y = 2 
   => y = 2 
   Решение: (4, 2)

Таким образом, два решения: (0, -2) и (4, 2).

Перехваты

Перехваты — это точки, в которых линия пересекает оси. Чтобы найти x-перехват, установите y = 0 и решите уравнение относительно x. Чтобы найти y-перехват, установите x = 0 и решите уравнение относительно y.

Пример 3: Нахождение перехватов

Найдите перехваты уравнения 3x + 4y = 12.

1. X-перехват: установить y = 0
   3x + 4(0) = 12 
   => 3x = 12 
   => x = 4 
   X-перехват: (4, 0)

2. Y-перехват: установить x = 0
   3(0) + 4y = 12 
   => 4y = 12 
   => y = 3 
   Y-перехват: (0, 3)

Таким образом, x-перехват равен (4, 0), а y-перехват равен (0, 3).

Параллельные и перпендикулярные линии

Две линии параллельны, если их наклоны одинаковы. Они никогда не пересекаются. Две линии перпендикулярны, если произведение их наклонов равно -1.

Пример 4: Проверка параллельных линий

Определите, являются ли линии, представленные 2x + 3y = 6 и 4x + 6y = 9, параллельными.

Наклон уравнения 1: 2x + 3y = 6 => y = (-2/3)x + 2 => наклон = -2/3
Наклон уравнения 2: 4x + 6y = 9 => y = (-4/6)x + 3/2 => наклон = -2/3

Поскольку наклоны равны, линии параллельны.

Пример 5: Проверка перпендикулярных линий

Определите, являются ли линии, представленные y = (1/2)x + 3 и 2y = -x + 5, перпендикулярными.

Наклон уравнения 1: y = (1/2)x + 3 => наклон = 1/2
Наклон уравнения 2: 2y = -x + 5 => y = (-1/2)x + 5/2 => наклон = -1/2

Произведение наклонов равно (1/2) * (-2) = -1, следовательно, линии перпендикулярны.

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений — это набор из двух или более уравнений, имеющих одни и те же переменные. Решение системы включает поиск точки пересечения на графике.

Пример 6: Решение системы методом подстановки

Решите систему:

x + 2y = 3
3x – y = -2

Подставьте из первого уравнения:

x = 3 – 2y

Подставьте во второе уравнение:

3(3 - 2y) - y = -2
9 - 6y - y = -2
9 – 7y = -2
7y = 11
y = 11/7

Подставьте вновь, чтобы найти x:

x = 3 - 2(11/7)
x = 3 – 22/7
x = (21/7) - (22/7)
x = -1/7

Его решение — (-1/7, 11/7).

Пример 7: Решение системы методом исключения

Решите систему:

2x + 3y = 7
4x – 6y = 8

Умножьте первое уравнение на 2:

4x + 6y = 14

Теперь вычтем второе уравнение:

(4x + 6y) – (4x – 6y) = 14 – 8
12y = 6
y = 1/2

Подставьте вновь, чтобы найти x:

2x + 3(1/2) = 7
2x + 3/2 = 7
2x = 7 - 3/2
2x = 14/2 - 3/2
2x = 11/2
x = 11/4

Решение — (11/4, 1/2).

Применение линейных уравнений

Линейные уравнения широко используются для решения реальных проблем. Примеры включают в себя расчет расстояния, стоимости, прибыли и многих других ситуаций.

Пример 8: Расчет стоимости

Джон покупает яблоки и бананы. Если яблоки стоят $2 за банан, а бананы стоят $3 за банан, и он тратит всего $18, выразите эту ситуацию в виде линейного уравнения.

Пусть x = количество яблок, y = количество бананов
Уравнение: 2x + 3y = 18

Пример 9: Анализ безубыточности

Предприниматель продает ручной работы открытки за $5. Материалы стоят $50, а каждая открытка стоит $1 для изготовления. Сколько открыток необходимо продать, чтобы выйти на точку безубыточности?

Пусть x = количество открыток
Выручка = 5x
Затраты = 50 + 1x
Уравнение для безубыточности:
5x = 50 + x
4x = 50
x = 12.5

Таким образом, необходимо продать 13 открыток, чтобы выйти на точку безубыточности.

Понимание линейных уравнений с двумя переменными включает распознавание их форм, построение графиков, нахождение решений и применение их к практическим задачам. Они являются основой для понимания сложной алгебры и полезны в различных областях. Освоив эти концепции, студенты могут развивать важные навыки решения проблем, применимые во многих реальных сценариях.

комментарии