Equações lineares em duas variáveis

Uma equação linear em duas variáveis é uma declaração matemática que iguala um polinômio linear a uma constante. Este tipo de equação pode ser expresso como:

ax + by = c

onde a, b e c são números reais, e x e y são variáveis. Por exemplo:

2x + 3y = 6
5x – y = 4
-3x + 2y = -12

Compreendendo equações lineares

Equações lineares em duas variáveis representam linhas retas quando são grafadas no plano cartesiano. A forma geral da equação pode ser rearranjada na forma de inclinação-interseção:

y = mx + b

onde m é a inclinação da linha e b é a interseção y. Veja como você pode converter a forma normal:

ax + by = c => by = -ax + c => y = (-a/b)x + (c/b)

Exemplo 1: Transformando uma equação

Vamos converter a equação 2x + 3y = 6 para a forma de inclinação-interseção.

2x + 3y = 6
3y = -2x + 6
y = (-2/3)x + 2

A inclinação é -2/3 e a interseção y é 2.

Representação gráfica

Para graficar uma equação linear em duas variáveis, trace os pontos que satisfazem a equação e desenhe uma linha através deles. Vamos considerar a equação y = 2x + 1.

Neste exemplo, traçamos os pontos (0, 1), (1, 3) e (-1, -1) e desenhamos uma linha através deles. Esta linha é a representação gráfica da equação y = 2x + 1.

Solução de equações lineares

A solução de uma equação linear em duas variáveis é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem a equação. Estes pontos estão na linha representada pela equação.

Exemplo 2: Encontrando uma solução

Encontre duas soluções da equação x - y = 2.

1. Escolha x = 0: 
   0 - y = 2 
   => y = -2 
   Solução: (0, -2)

2. Escolha x = 4: 
   4 – y = 2 
   => y = 2 
   Solução: (4, 2)

Portanto, as duas soluções são (0, -2) e (4, 2).

Interseções

As interseções são os pontos onde a linha cruza os eixos. Para encontrar a interseção x, defina y = 0 e resolva para x. Para encontrar a interseção y, defina x = 0 e resolva para y.

Exemplo 3: Encontrando a interseção

Encontre as interseções da equação 3x + 4y = 12.

1. Interseção X: defina y = 0
   3x + 4(0) = 12 
   => 3x = 12 
   => x = 4 
   Interseção X: (4, 0)

2. Interseção Y: defina x = 0
   3(0) + 4y = 12 
   => 4y = 12 
   => y = 3 
   Interseção Y: (0, 3)

Portanto, a interseção x é (4, 0) e a interseção y é (0, 3).

Linhas paralelas e perpendiculares

Duas linhas são paralelas se suas inclinações forem iguais. Elas nunca se cruzam. Duas linhas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1.

Exemplo 4: Verificando linhas paralelas

Determine se as linhas representadas por 2x + 3y = 6 e 4x + 6y = 9 são paralelas.

Inclinação da Equação 1: 2x + 3y = 6 => y = (-2/3)x + 2 => inclinação = -2/3
Inclinação da Equação 2: 4x + 6y = 9 => y = (-4/6)x + 3/2 => inclinação = -2/3

Como as inclinações são iguais, as linhas são paralelas.

Exemplo 5: Verificando linhas perpendiculares

Determine se as linhas representadas por y = (1/2)x + 3 e 2y = -x + 5 são perpendiculares.

Inclinação da Equação 1: y = (1/2)x + 3 => inclinação = 1/2
Inclinação da Equação 2: 2y = -x + 5 => y = (-1/2)x + 5/2 => inclinação = -1/2

O produto das inclinações é (1/2) * (-2) = -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações que possuem as mesmas variáveis. Resolver um sistema envolve encontrar o(s) ponto(s) de interseção no gráfico.

Exemplo 6: Resolvendo um sistema por substituição

Resolva o sistema:

x + 2y = 3
3x – y = -2

Substitua a partir da primeira equação:

x = 3 – 2y

Substitua na segunda equação:

3(3 - 2y) - y = -2
9 - 6y - y = -2
9 – 7y = -2
7y = 11
y = 11/7

Reintroduza para encontrar x:

x = 3 - 2(11/7)
x = 3 – 22/7
x = (21/7) - (22/7)
x = -1/7

Sua solução é (-1/7, 11/7).

Exemplo 7: Resolvendo um sistema por eliminação

Resolva o sistema:

2x + 3y = 7
4x – 6y = 8

Multiplique a primeira equação por 2:

4x + 6y = 14

Agora, subtraia a segunda equação:

(4x + 6y) – (4x – 6y) = 14 – 8
12y = 6
y = 1/2

Reintroduza para encontrar x:

2x + 3(1/2) = 7
2x + 3/2 = 7
2x = 7 - 3/2
2x = 14/2 - 3/2
2x = 11/2
x = 11/4

A solução é (11/4, 1/2).

Aplicações de equações lineares

As equações lineares são amplamente usadas para resolver problemas do mundo real. Exemplos incluem calcular distância, custo, lucro e muitas outras situações.

Exemplo 8: Cálculo de custo

John compra maçãs e bananas. Se as maçãs custam $2 por maçã e as bananas custam $3 por banana, e ele gasta um total de $18, expresse esta situação como uma equação linear.

Deixe x = número de maçãs, y = número de bananas
Equação: 2x + 3y = 18

Exemplo 9: Análise de ponto de equilíbrio

Um empresário vende cartões artesanais por $5. Os materiais custam $50 e cada cartão custa $1 para fazer. Quantos cartões devem ser vendidos para atingir o ponto de equilíbrio?

Deixe x = número de cartões
Receita = 5x
Custo = 50 + 1x
Equação para ponto de equilíbrio:
5x = 50 + x
4x = 50
x = 12.5

Portanto, 13 cartões precisam ser vendidos para atingir o ponto de equilíbrio.

Entender equações lineares em duas variáveis envolve reconhecer suas formas, graficá-las, encontrar soluções e aplicá-las a problemas práticos. Elas formam a base para entender álgebra complexa e são úteis em várias áreas. Ao dominar esses conceitos, os alunos podem desenvolver habilidades importantes de solução de problemas aplicáveis a muitos cenários do mundo real.

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