2変数の線形方程式

2変数の線形方程式は、線形多項式を定数に等しいとする数学的な式です。この種の方程式は次のように表されます：

ax + by = c

ここで、a, b, cは実数で、x, yは変数です。例えば：

2x + 3y = 6
5x – y = 4
-3x + 2y = -12

線形方程式の理解

2変数の線形方程式は、デカルト座標上にグラフ化すると直線を表します。この方程式の一般形は、傾き-切片形に変形できます：

y = mx + b

ここで、mは直線の傾きで、bはy切片です。通常の形を次のように変換できます：

ax + by = c => by = -ax + c => y = (-a/b)x + (c/b)

例1: 方程式を変換する

方程式 2x + 3y = 6 を傾き-切片形に変換してみましょう。

2x + 3y = 6
3y = -2x + 6
y = (-2/3)x + 2

傾きは-2/3で、y切片は2です。

グラフによる表現

2変数の線形方程式をグラフ化するには、方程式を満足する点をプロットし、これを通る直線を描きます。方程式 y = 2x + 1 を考えてみましょう。

この例では、点 (0, 1), (1, 3), (-1, -1) をプロットし、これを通る直線を描きました。この直線が方程式 y = 2x + 1 のグラフによる表現です。

線形方程式の解

2変数の線形方程式の解は、方程式を満足する 全ての点(x, y)の集合です。これらの点は 方程式で表される線上にあります。

例2: 解を求める

方程式 x - y = 2 の2つの解を求めましょう。

1. x = 0 の場合: 
   0 - y = 2 
   => y = -2 
   解: (0, -2)

2. x = 4 の場合: 
   4 – y = 2 
   => y = 2 
   解: (4, 2)

よって、2つの解は (0, -2) と (4, 2) です。

交点

切片は、直線が軸と交わる点です。x切片を求めるには、y = 0 と設定し、xを解きます。y切片を求めるには、x = 0 と設定し、yを解きます。

例3: 切片を求める

方程式 3x + 4y = 12 の切片を求めなさい。

1. X切片: y = 0 と設定
   3x + 4(0) = 12 
   => 3x = 12 
   => x = 4 
   X切片: (4, 0)

2. Y切片: x = 0 と設定
   3(0) + 4y = 12 
   => 4y = 12 
   => y = 3 
   Y切片: (0, 3)

したがって、x切片は (4, 0) で、y切片は (0, 3) です。

平行と垂直の線

2つの直線は、その傾きが同じならば平行です。彼らは決して交差しません。2つの直線は、その傾きの積が-1ならば垂直です。

例4: 平行線の確認

2x + 3y = 6 と 4x + 6y = 9で表される線が平行かどうか判断しなさい。

方程式1の傾き: 2x + 3y = 6 => y = (-2/3)x + 2 => 傾き = -2/3
方程式2の傾き: 4x + 6y = 9 => y = (-4/6)x + 3/2 => 傾き = -2/3

傾きが等しいので、直線は平行です。

例5: 垂直線の確認

y = (1/2)x + 3 と 2y = -x + 5で表される線が垂直かどうか判断しなさい。

方程式1の傾き: y = (1/2)x + 3 => 傾き = 1/2
方程式2の傾き: 2y = -x + 5 => y = (-1/2)x + 5/2 => 傾き = -1/2

傾きの積は (1/2) * (-2) = -1 なので、線は垂直です。

線形方程式の体系

線形方程式の体系とは、同じ変数を持つ2つ以上の方程式のセットです。解法には、グラフ上の交点を見つけることが含まれます。

例6: 代入法による体系の解法

次の体系を解きなさい：

x + 2y = 3
3x – y = -2

第一の方程式から代入：

x = 3 – 2y

第二の方程式に代入：

3(3 - 2y) - y = -2
9 - 6y - y = -2
9 – 7y = -2
7y = 11
y = 11/7

xを求めるために再代入：

x = 3 - 2(11/7)
x = 3 – 22/7
x = (21/7) - (22/7)
x = -1/7

解は(-1/7, 11/7)です。

例7: 消去法による体系の解法

次の体系を解きなさい：

2x + 3y = 7
4x – 6y = 8

第一の方程式を2倍する：

4x + 6y = 14

次に、第二の方程式を引く：

(4x + 6y) – (4x – 6y) = 14 – 8
12y = 6
y = 1/2

xを求めるために再代入：

2x + 3(1/2) = 7
2x + 3/2 = 7
2x = 7 - 3/2
2x = 14/2 - 3/2
2x = 11/2
x = 11/4

解は(11/4, 1/2)です。

線形方程式の応用

線形方程式は、実世界の問題を解くために広く使用されます。例として、距離、コスト、利益の計算などがあります。

例8: コスト計算

ジョンはリンゴとバナナを買います。リンゴは1つあたり$2で、バナナは1つあたり$3で、合計$18を費やしました。この状況を線形方程式で表しなさい。

x = リンゴの数, y = バナナの数
方程式: 2x + 3y = 18

例9: 損益分岐点分析

ある起業家は手作りのカードを1枚あたり$5で販売しています。材料費は$50で、カード1枚あたり$1かかります。損益を分岐させるためには何枚のカードを販売する必要がありますか？

x = カードの枚数
収入 = 5x
コスト = 50 + 1x
損益分岐点の方程式:
5x = 50 + x
4x = 50
x = 12.5

したがって、損益分岐点に達するためには13枚のカードを販売する必要があります。

2変数の線形方程式を理解することは、その形式を認識し、グラフを描き、解を見つけ、実際の問題に適用することを含みます。これらは複雑な代数を理解するための基礎を形成し、さまざまな分野で役立ちます。これらの概念を習得することで、生徒は多くの実世界のシナリオに適用できる重要な問題解決スキルを開発することが可能です。

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