दो चर में रैखिक समीकरण

दो चर में रैखिक समीकरण एक गणितीय वक्तव्य है जो एक रैखिक बहूपद को एक स्थिरांक के बराबर करता है। इस प्रकार की समीकरण को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

ax + by = c

जहां a, b, और c वास्तविक संख्याएं हैं, और x और y चर हैं। उदाहरण के लिए:

2x + 3y = 6
5x – y = 4
-3x + 2y = -12

रैखिक समीकरणों को समझना

दो चर में रैखिक समीकरण कार्टेशियन तल पर ग्राफ किए जाने पर सीधी रेखाएं प्रदर्शित करते हैं। समीकरण का सामान्य रूप ढाल-अवरोधक रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

y = mx + b

जहां m रेखा की ढाल है और b y-अवरोधक है। यहां बताया गया है कि आप सामान्य रूप को कैसे बदल सकते हैं:

ax + by = c => by = -ax + c => y = (-a/b)x + (c/b)

उदाहरण 1: एक समीकरण को रूपांतरित करना

आइए समीकरण 2x + 3y = 6 को ढाल-अवरोधक रूप में बदलें।

2x + 3y = 6
3y = -2x + 6
y = (-2/3)x + 2

ढाल -2/3 है और y-अवरोधक 2 है।

ग्राफिकल निरूपण

दो चर में एक रैखिक समीकरण को ग्राफ करने के लिए, उन बिंदुओं को प्लॉट करें जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं और उनके माध्यम से एक रेखा खींचें। आइए समीकरण y = 2x + 1 पर विचार करें।

इस उदाहरण में, हमने बिंदु (0, 1), (1, 3) और (-1, -1) को प्लॉट किया है और उनके माध्यम से एक रेखा खींची है। यह रेखा समीकरण y = 2x + 1 का ग्राफिकल निरूपण है।

रैखिक समीकरणों का समाधान

दो चर में एक रैखिक समीकरण का समाधान सभी बिंदुओं (x, y) का सेट होता है जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं। ये बिंदु समीकरण द्वारा निरूपित रेखा पर स्थित होते हैं।

उदाहरण 2: समाधान खोजना

समीकरण x - y = 2 के दो समाधान खोजें।

1. x = 0 चुनें: 
   0 - y = 2 
   => y = -2 
   समाधान: (0, -2)

2. x = 4 चुनें: 
   4 – y = 2 
   => y = 2 
   समाधान: (4, 2)

इसलिए, दो समाधान हैं (0, -2) और (4, 2)।

अबरोध

अवरोध वे बिंदु होते हैं जहां रेखा अक्षों को पार करती है। x-अवरोध खोजने के लिए, y = 0 रखें और x के लिए हल करें। y-अवरोध खोजने के लिए, x = 0 रखें और y के लिए हल करें।

उदाहरण 3: अवरोध खोजना

समीकरण 3x + 4y = 12 के अवरोध खोजें।

1. x-अवरोध: y = 0 रखें
   3x + 4(0) = 12 
   => 3x = 12 
   => x = 4 
   x-अवरोध: (4, 0)

2. y-अवरोध: x = 0 रखें
   3(0) + 4y = 12 
   => 4y = 12 
   => y = 3 
   y-अवरोध: (0, 3)

अतः x-अवरोध (4, 0) है और y-अवरोध (0, 3) है।

समानांतर और लंबवत रेखाएं

दो रेखाएं समानांतर हैं यदि उनकी ढाल समान है। वे कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं। दो रेखाएं लंबवत होती हैं यदि उनकी ढालों का गुणनफल -1 होता है।

उदाहरण 4: समानांतर रेखाओं की जांच

निर्धारित करें कि क्या रेखाएं 2x + 3y = 6 और 4x + 6y = 9 एक-दूसरे के समानांतर हैं।

समीकरण 1 की ढाल: 2x + 3y = 6 => y = (-2/3)x + 2 => ढाल = -2/3
समीकरण 2 की ढाल: 4x + 6y = 9 => y = (-4/6)x + 3/2 => ढाल = -2/3

चूंकि ढाल समान हैं, रेखाएं समानांतर हैं।

उदाहरण 5: लंबवत रेखाओं की जांच

निर्धारित करें कि क्या रेखाएं y = (1/2)x + 3 और 2y = -x + 5 एक-दूसरे के लंबवत हैं।

समीकरण 1 की ढाल: y = (1/2)x + 3 => ढाल = 1/2
समीकरण 2 की ढाल: 2y = -x + 5 => y = (-1/2)x + 5/2 => ढाल = -1/2

ढालों का गुणनफल (1/2) * (-2) = -1 है, अतः रेखाएं लंबवत हैं।

रैखिक समीकरणों के सिस्टम

रैखिक समीकरणों का एक सिस्टम दो या अधिक समीकरणों का समुच्चय है जिनके समान चरों होते हैं। एक सिस्टम को हल करने का मतलब ग्राफ पर प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजना है।

उदाहरण 6: प्रतिस्थापन द्वारा सिस्टम हल करना

सिस्टम को हल करें:

x + 2y = 3
3x – y = -2

पहले समीकरण से प्रतिस्थापित करें:

x = 3 – 2y

दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

3(3 - 2y) - y = -2
9 - 6y - y = -2
9 – 7y = -2
7y = 11
y = 11/7

रि-प्रतिस्थापन करके x खोजें:

x = 3 - 2(11/7)
x = 3 – 22/7
x = (21/7) - (22/7)
x = -1/7

इसका समाधान (-1/7, 11/7) है।

उदाहरण 7: उन्मूलन द्वारा सिस्टम हल करना

सिस्टम को हल करें:

2x + 3y = 7
4x – 6y = 8

पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:

4x + 6y = 14

अब, दूसरे समीकरण को घटाएं:

(4x + 6y) – (4x – 6y) = 14 – 8
12y = 6
y = 1/2

रि-प्रतिस्थापन करके x खोजें:

2x + 3(1/2) = 7
2x + 3/2 = 7
2x = 7 - 3/2
2x = 14/2 - 3/2
2x = 11/2
x = 11/4

इसका समाधान (11/4, 1/2) है।

रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग

रैखिक समीकरणों का उपयोग व्यापक रूप से वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। उदाहरणों में दूरी, लागत, लाभ और कई अन्य स्थितियों की गणना शामिल है।

उदाहरण 8: लागत गणना

जॉन सेब और केले खरीदता है। यदि सेब की कीमत प्रति केला $2 है और केले की कीमत प्रति केला $3 है, और वह कुल $18 खर्च करता है, तो इस स्थिति को रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त करें।

मान लें x = सेब की संख्या, y = केले की संख्या
समीकरण: 2x + 3y = 18

उदाहरण 9: ब्रेक-ईवन विश्लेषण

एक उद्यमी हस्तनिर्मित कार्ड $5 में बेचता है। सामग्री की लागत $50 है और प्रत्येक कार्ड बनाने में $1 का खर्च आता है। ब्रेक-ईवन के लिए कितने कार्ड बेचे जाने चाहिए?

मान लें x = कार्ड की संख्या
राजस्व = 5x
लागत = 50 + 1x
ब्रेक-ईवन के लिए समीकरण:
5x = 50 + x
4x = 50
x = 12.5

अतः ब्रेक-ईवन के लिए 13 कार्ड बेचे जाने चाहिए।

दो चर में रैखिक समीकरणों को समझने में उनके रूपों को पहचानना, उन्हें ग्राफ पर खींचना, समाधान खोजना और उन्हें व्यावहारिक समस्याओं पर लागू करना शामिल है। वे जटिल बीजगणित को समझने के लिए आधार बनाते हैं और विभिन्न क्षेत्रों में सहायक होते हैं। इन अवधारणाओं में महारत हासिल करके, छात्र महत्वपूर्ण समस्या समाधान कौशल विकसित कर सकते हैं जो कई वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों पर लागू होते हैं।

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