Grado 9 ↓
Ecuaciones lineales en dos variables
Una ecuación lineal en dos variables es una declaración matemática que iguala un polinomio lineal a una constante. Este tipo de ecuación puede expresarse como:
ax + by = c
donde a, b y c son números reales, y x y y son variables. Por ejemplo:
2x + 3y = 6 5x – y = 4 -3x + 2y = -12
Comprensión de las ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales en dos variables representan líneas rectas cuando se grafican en el plano cartesiano. La forma general de la ecuación puede reorganizarse en la forma pendiente-intersección:
y = mx + b
donde m es la pendiente de la línea y b es la intersección con el eje y. Así es como puede convertir la forma normal:
ax + by = c => by = -ax + c => y = (-a/b)x + (c/b)
Ejemplo 1: Transformación de una ecuación
Convirtamos la ecuación 2x + 3y = 6 a la forma pendiente-intersección.
2x + 3y = 6 3y = -2x + 6 y = (-2/3)x + 2
La pendiente es -2/3 y la intersección con el eje y es 2.
Representación gráfica
Para graficar una ecuación lineal en dos variables, trace los puntos que satisfacen la ecuación y dibuje una línea a través de ellos. Consideremos la ecuación y = 2x + 1.
En este ejemplo, graficamos los puntos (0, 1), (1, 3) y (-1, -1) y dibujamos una línea a través de ellos. Esta línea es la representación gráfica de la ecuación y = 2x + 1.
Solución de ecuaciones lineales
La solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. Estos puntos se encuentran en la línea representada por la ecuación.
Ejemplo 2: Encontrando una solución
Encuentra dos soluciones de la ecuación x - y = 2.
1. Elige x = 0: 0 - y = 2 => y = -2 Solución: (0, -2) 2. Elige x = 4: 4 – y = 2 => y = 2 Solución: (4, 2)
Por lo tanto, las dos soluciones son (0, -2) y (4, 2).
Interceptos
Los interceptos son los puntos donde la línea cruza los ejes. Para encontrar el intercepto en x, establece y = 0 y resuelve para x. Para encontrar el intercepto en y, establece x = 0 y resuelve para y.
Ejemplo 3: Encontrando el intercepto
Encuentra los interceptos de la ecuación 3x + 4y = 12.
1. Intercepto en X: establece y = 0 3x + 4(0) = 12 => 3x = 12 => x = 4 Intercepto en X: (4, 0)
2. Intercepto en Y: establece x = 0 3(0) + 4y = 12 => 4y = 12 => y = 3 Intercepto en Y: (0, 3)
Por lo tanto, el intercepto en x es (4, 0) y el intercepto en y es (0, 3).
Líneas paralelas y perpendiculares
Dos líneas son paralelas si sus pendientes son iguales. Nunca se cruzan. Dos líneas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.
Ejemplo 4: Comprobación de líneas paralelas
Determina si las líneas representadas por 2x + 3y = 6 y 4x + 6y = 9 son paralelas.
Pendiente de la Ecuación 1: 2x + 3y = 6 => y = (-2/3)x + 2 => pendiente = -2/3 Pendiente de la Ecuación 2: 4x + 6y = 9 => y = (-4/6)x + 3/2 => pendiente = -2/3
Dado que las pendientes son iguales, las líneas son paralelas.
Ejemplo 5: Comprobación de líneas perpendiculares
Determina si las líneas representadas por y = (1/2)x + 3 y 2y = -x + 5 son perpendiculares.
Pendiente de la Ecuación 1: y = (1/2)x + 3 => pendiente = 1/2 Pendiente de la Ecuación 2: 2y = -x + 5 => y = (-1/2)x + 5/2 => pendiente = -1/2
El producto de las pendientes es (1/2) * (-2) = -1, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen las mismas variables. Resolver un sistema implica encontrar el/los punto(s) de intersección en el gráfico.
Ejemplo 6: Resolviendo un sistema por sustitución
Resuelve el sistema:
x + 2y = 3 3x – y = -2
Sustituye desde la primera ecuación:
x = 3 – 2y
Sustituye en la segunda ecuación:
3(3 - 2y) - y = -2 9 - 6y - y = -2 9 – 7y = -2 7y = 11 y = 11/7
Vuelve a sustituir para encontrar x:
x = 3 - 2(11/7) x = 3 – 22/7 x = (21/7) - (22/7) x = -1/7
Su solución es (-1/7, 11/7).
Ejemplo 7: Resolviendo un sistema por eliminación
Resuelve el sistema:
2x + 3y = 7 4x – 6y = 8
Multiplica la primera ecuación por 2:
4x + 6y = 14
Ahora, resta la segunda ecuación:
(4x + 6y) – (4x – 6y) = 14 – 8 12y = 6 y = 1/2
Vuelve a sustituir para encontrar x:
2x + 3(1/2) = 7 2x + 3/2 = 7 2x = 7 - 3/2 2x = 14/2 - 3/2 2x = 11/2 x = 11/4
La solución es (11/4, 1/2).
Aplicaciones de ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales se utilizan ampliamente para resolver problemas del mundo real. Ejemplos incluyen calcular la distancia, el costo, el beneficio y muchas otras situaciones.
Ejemplo 8: Cálculo de costes
John compra manzanas y plátanos. Si las manzanas cuestan $2 por plátano y los plátanos cuestan $3 por plátano, y él gasta un total de $18, exprese esta situación como una ecuación lineal.
Deja que x = número de manzanas, y = número de plátanos Ecuación: 2x + 3y = 18
Ejemplo 9: Análisis de punto de equilibrio
Un emprendedor vende tarjetas hechas a mano por $5. Los materiales cuestan $50 y cada tarjeta cuesta $1 para hacer. ¿Cuántas tarjetas deben venderse para alcanzar el punto de equilibrio?
Deja que x = número de tarjetas Ingreso = 5x Costo = 50 + 1x Ecuación para el punto de equilibrio: 5x = 50 + x 4x = 50 x = 12.5
Por lo tanto, 13 tarjetas necesitan venderse para alcanzar el punto de equilibrio.
Entender las ecuaciones lineales en dos variables implica reconocer sus formas, graficarlas, encontrar soluciones y aplicarlas a problemas prácticos. Forman la base para comprender el álgebra compleja y son útiles en una variedad de campos. Al dominar estos conceptos, los estudiantes pueden desarrollar importantes habilidades de resolución de problemas aplicables a muchos escenarios del mundo real.
Comentarios