Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis

As desigualdades lineares em duas variáveis são expressões matemáticas que comparam duas expressões lineares usando símbolos de desigualdade. Essas expressões são uma parte muito importante da álgebra e são usadas para representar um intervalo de soluções, em vez de um único valor numérico. Neste guia abrangente e detalhado, exploraremos o conceito de desigualdades lineares, como representá-las graficamente e como resolvê-las por meio de vários exemplos e ilustrações.

Compreendendo as desigualdades lineares

Uma desigualdade linear em duas variáveis é semelhante a uma equação linear, mas possui um dos seguintes sinais de desigualdade em vez de um sinal de igualdade ( = ):

• < (menor que)
• > (maior que)
• ≤ (menor ou igual a)
• ≥ (maior ou igual a)

A forma geral de uma desigualdade linear em duas variáveis x e y é:

Ax + By < C

Ou

Ax + By > C

Ou

Ax + By ≤ C

Ou

Ax + By ≥ C

onde A, B e C são constantes, e x e y são variáveis.

Gráficos de desigualdades lineares

Para traçar graficamente uma desigualdade linear em duas variáveis, seguimos estas etapas:

1. Converta a desigualdade em uma equação, substituindo o sinal de desigualdade por um sinal de igualdade.
2. Faça o gráfico da equação obtida na etapa 1. Esta será a linha de fronteira. Se a desigualdade for < ou >, desenhe uma linha tracejada. Se a desigualdade for ≤ ou ≥, desenhe uma linha sólida.
3. Escolha um ponto de teste que não esteja na linha de fronteira, a fim de determinar qual lado da linha faz parte do conjunto de soluções.
4. Sombreie a região que satisfaz a desigualdade.

Exemplos de gráficos de desigualdades lineares

Exemplo 1: 2x + 3y < 6

Passo 1: Substitua < por =:

2x + 3y = 6

Esta é a equação da nossa linha de fronteira.

Passo 2: Faça o gráfico da linha 2x + 3y = 6. Encontramos dois pontos para desenhar a linha:

• Quando x = 0, 3y = 6 → y = 2 (Ponto: (0,2))
• Quando y = 0, 2x = 6 → x = 3 (Ponto: (3,0))

Plote esses pontos e desenhe uma linha tracejada entre eles, já que < representa uma desigualdade não inclusiva.

Passo 3: Escolha um ponto de teste que não esteja na linha. Uma escolha comum é a origem (0,0):

2(0) + 3(0) = 0, e 0 < 6 é verdadeiro.

Como o ponto de teste satisfaz a desigualdade, sombreie a borda da linha que contém (0,0).

Exemplo 2: x - y ≥ 4

Passo 1: Substitua ≥ por =:

x - y = 4

Passo 2: Faça o gráfico da linha x - y = 4. Encontre dois pontos:

• Quando x = 4, y = 0 (Ponto: (4,0))
• Quando y = 0, x = 4 (Ponto: (4,0))
• Ajuste os pontos para torná-los mais claros, se necessário. Por exemplo:
  • Quando x = 0, -y = 4 → y = -4 (Ponto: (0,-4))

Plote esses pontos e desenhe uma linha sólida através deles, já que ≥ representa uma desigualdade inclusiva.

Passo 3: Teste com o ponto de origem (0,0):

0 - 0 = 0, e 0 ≥ 4 é falso.

O lado oposto ao ponto de teste (0,0) satisfaz a desigualdade, então sombreie essa região.

Soluções de interpretação

As soluções para as desigualdades lineares incluem todos os pontos na região sombreada. Cada ponto nesta região é uma solução que satisfaz a desigualdade original. No contexto de um problema do mundo real, esses pontos podem representar um conjunto de soluções universalmente viáveis.

Aplicações práticas das desigualdades lineares

As desigualdades lineares não são apenas conceitos matemáticos abstratos; são usadas para modelar e resolver problemas da vida real em campos como negócios, economia, engenharia e ciência. Alguns exemplos incluem:

• Restrições orçamentárias: As empresas geralmente têm orçamentos que não podem exceder, criando disparidades que definem seus limites de gastos.
• Gerenciamento de estoque: É necessário gerenciar níveis de estoque para que permaneçam dentro de certos níveis, portanto, modelos são criados usando desigualdades para representar essas restrições.
• Atribuição de recursos: A alocação de recursos limitados, como tempo ou materiais, da maneira mais eficiente muitas vezes envolve resolver sistemas de desigualdades.

Resolvendo sistemas de desigualdades lineares

Às vezes, várias desigualdades lineares precisam ser consideradas simultaneamente. Resolver um sistema de desigualdades lineares envolve encontrar a região comum que satisfaz todas as desigualdades no sistema. Essa região comum é conhecida como região viável.

Exemplo: Resolva o sistema

Considere o sistema de desigualdades:

1. x + y ≤ 5

2. x - y > 3

1. Faça o gráfico de cada desigualdade e encontre sua área sombreada.
2. A interseção das regiões sombreadas representa o conjunto de soluções para o sistema de desigualdades.
3. Essa interseção é a região viável, e todos os pontos nesta região satisfazem ambas as desigualdades.

Representação gráfica da solução

Observe que a região sobreposta das duas regiões sombreadas forma um polígono que representa a região viável de todo o sistema de desigualdades.

Conclusão

As desigualdades lineares são uma parte fundamental da matemática, fornecendo insights e soluções para uma ampla variedade de problemas. Ao entender como representar graficamente e interpretar desigualdades lineares, você pode enfrentar sistemas mais complexos e aplicações do mundo real. Praticando com uma variedade de exemplos e recursos visuais, você pode aprimorar suas habilidades e aplicar essas técnicas de forma eficaz.

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