Introducción a las desigualdades lineales en dos variables

Las desigualdades lineales en dos variables son expresiones matemáticas que comparan dos expresiones lineales usando símbolos de desigualdad. Estas expresiones son una parte muy importante del álgebra y se usan para representar un rango de soluciones en lugar de un único valor numérico. En esta guía detallada completa, exploraremos el concepto de desigualdades lineales, cómo graficarlas y cómo resolverlas a través de varios ejemplos e ilustraciones.

Entendiendo las desigualdades lineales

Una desigualdad lineal en dos variables es similar a una ecuación lineal, pero tiene uno de los siguientes signos de desigualdad en lugar de un signo de igualdad ( = ):

• < (menor que)
• > (mayor que)
• ≤ (menor o igual que)
• ≥ (mayor o igual que)

La forma general de una desigualdad lineal en dos variables x y y es:

Ax + By < C

O

Ax + By > C

O

Ax + By ≤ C

O

Ax + By ≥ C

donde A, B y C son constantes, y x y y son variables.

Graficando desigualdades lineales

Para graficar una desigualdad lineal en dos variables, seguimos estos pasos:

1. Convierta la desigualdad en una ecuación reemplazando el signo de desigualdad con un signo de igualdad.
2. Grafique la ecuación obtenida en el paso 1. Esta será la línea de límite. Si la desigualdad es < o >, dibuje una línea discontinua. Si la desigualdad es ≤ o ≥, dibuje una línea continua.
3. Elija un punto de prueba que no esté en la línea de límite para determinar qué lado de la línea forma parte del conjunto de soluciones.
4. Sombree la región que satisface la desigualdad.

Ejemplos de gráficos de desigualdades lineales

Ejemplo 1: 2x + 3y < 6

Paso 1: Reemplace < con =:

2x + 3y = 6

Esta es la ecuación de nuestra línea de límite.

Paso 2: Grafique la línea 2x + 3y = 6. Encontramos dos puntos para dibujar la línea:

• Cuando x = 0, 3y = 6 → y = 2 (Punto: (0,2))
• Cuando y = 0, 2x = 6 → x = 3 (Punto: (3,0))

Grafique estos puntos y dibuje una línea discontinua entre ellos, ya que < representa una desigualdad no inclusiva.

Paso 3: Elija un punto de prueba que no esté en la línea. Una elección común es el origen (0,0):

2(0) + 3(0) = 0, y 0 < 6 es verdadero.

Dado que el punto de prueba satisface la desigualdad, sombree el borde de la línea que contiene (0,0).

Ejemplo 2: x - y ≥ 4

Paso 1: Reemplace ≥ con =:

x - y = 4

Paso 2: Grafique la línea x - y = 4. Encuentre dos puntos:

• Cuando x = 4, y = 0 (Punto: (4,0))
• Cuando y = 0, x = 4 (Punto: (4,0))
• Ajuste los puntos para hacerlos más claros si es necesario. Por ejemplo:
  • Cuando x = 0, -y = 4 → y = -4 (Punto: (0,-4))

Grafique estos puntos y dibuje una línea continua a través de ellos, ya que ≥ representa una desigualdad inclusiva.

Paso 3: Pruebe con el punto de origen (0,0):

0 - 0 = 0, y 0 ≥ 4 es falso.

El lado opuesto al punto de prueba (0,0) satisface la desigualdad, por lo que sombree esa región.

Interpretación de soluciones

Las soluciones de las desigualdades lineales incluyen todos los puntos en la región sombreada. Cada punto en esta región es una solución que satisface la desigualdad original. En el contexto de un problema del mundo real, estos puntos pueden representar un conjunto de soluciones universalmente factibles.

Aplicaciones prácticas de las desigualdades lineales

Las desigualdades lineales no son solo conceptos matemáticos abstractos; se utilizan para modelar y resolver problemas de la vida real en campos como los negocios, la economía, la ingeniería y la ciencia. Algunos ejemplos incluyen:

• Restricciones presupuestarias: Las empresas a menudo tienen presupuestos que no pueden exceder, creando disparidades que definen sus límites de gasto.
• Gestión de inventarios: Es necesario gestionar los niveles de stock para que permanezcan dentro de ciertos niveles; por lo tanto, se crean modelos que utilizan desigualdades para representar estas restricciones.
• Asignación de recursos: Asignar recursos limitados, como tiempo o materiales, de la manera más eficiente, a menudo implica resolver sistemas de desigualdades.

Resolviendo sistemas de desigualdades lineales

A veces, es necesario considerar varias desigualdades lineales simultáneamente. Resolver un sistema de desigualdades lineales implica encontrar la región común que satisface todas las desigualdades del sistema. Esta región común se conoce como la región factible.

Ejemplo: Resuelve el sistema

Considere el sistema de desigualdades:

1. x + y ≤ 5

2. x - y > 3

1. Grafique cada desigualdad y encuentre su área sombreada.
2. La intersección de las regiones sombreadas representa el conjunto de soluciones para el sistema de desigualdades.
3. Esta intersección es la región factible, y todos los puntos en esta región satisfacen ambas desigualdades.

Representación gráfica de la solución

Tenga en cuenta que la región superpuesta de las dos regiones sombreadas forma un polígono que representa la región factible de todo el sistema de desigualdades.

Conclusión

Las desigualdades lineales son una parte fundamental de las matemáticas, proporcionando información y soluciones a una amplia variedad de problemas. Al comprender cómo graficar e interpretar desigualdades lineales, puede abordar sistemas más complejos y aplicaciones del mundo real. Al practicar con una variedad de ejemplos y ayudas visuales, puede perfeccionar sus habilidades y aplicar estas técnicas de manera efectiva.

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