2つの変数における線形方程式を解く代数的方法

代数的方法は、2つの変数における線形方程式を解くための基本的な技法の1つです。この方法を理解することは、しばしば2つの線形方程式として表される、2つの異なる条件が同時に満たされなければならない問題を解決するために重要です。この文書では、代数的方法の概念、ステップバイステップの手順、例、およびさまざまな側面を探ります。

2つの変数における線形方程式の紹介

2つの変数における線形方程式は、次の形で書かれる方程式です：

ax + by = c

ここで、xとyは変数で、a、b、cは定数です。これらの方程式の解は、方程式を真にするxとyの値の組です。

代数的方法とは何ですか？

代数的方法は、アルジェブラ技術を用いて1つの変数を排除することで、他の変数を解くことを可能にします。代数的方法には主に2つのアプローチがあります：

代入法
消去法

1. 代入法

代入法は、1 つの方程式を単一の変数に対して解き、この式を他の方程式に代入する方法です。これにより、連立方程式は1変数の単一方程式に変わります。ステップを見ていきましょう：

以下の変数のいずれかを解く：
任意の方程式を選んで1つの変数を他の変数で解きます。たとえば、この方程式があるとします：
```
x + 2y = 5
```
次のようにxを解くことができます：
```
x = 5 - 2y
```
この表現を他の方程式に代入する：
1番目のステップで見つけた変数の表現を2番目の方程式に代入します。例を続けると、2番目の方程式が：
```
3x - y = 4
```
方程式にx = 5 - 2yを代入します：
```
3(5 - 2y) - y = 4
```
結果の単変数方程式を解く：
簡略化して残りの変数を解きます：
```
15 - 6y - y = 4
```
```
15 - 7y = 4
```
```
-7y = 4 - 15
```
```
-7y = -11
```
```
y = 11/7
```
再度代入して他の変数を見つける：
1番目のステップで得られた式にyの値を代入してxを求めます：
```
x = 5 - 2(11/7)
```
これを簡略化すると：
```
x = 5 - 22/7
```
```
x = 35/7 - 22/7
```
```
x = 13/7
```
したがって、解は(13/7, 11/7)です。

2. 消去法

消去法は、変数の1つを排除するように2つの線形方程式を配置し、それらを加算または減算する方法です。これにより、残りの単変数方程式を解くことができます。この方法の基本的な手順は次のとおりです：

方程式を整列させる：
両方の方程式を標準形で書いて、1つの変数を排除することに焦点を当てるように整列させます。以下の例を考慮します：
```
2x + 3y = 8
```
```
4x - 9y = -2
```
1つの変数の係数を同等にする：
定数を用いて1つまたは両方の方程式をかけて、変数の係数を等しく（または反対に）します。例として、1つ目の方程式に2をかけます：
```
4x + 6y = 16
```
今度はこれから2番目の方程式を減算します：
```
(4x + 6y) - (4x - 9y) = (16) - (-2)
```
1つの変数を排除して他の変数を解く：
結果を簡略化します：
```
4x + 6y - 4x + 9y = 16 + 2
```
```
15y = 18
```
```
y = 18/15
```
```
y = 6/5
```
再度代入して他の変数を見つける：
1つ目の方程式にyの値を代入します。以下を選びます：
```
2x + 3(6/5) = 8
```
簡略化すると、次が得られます：
```
2x + 18/5 = 8
```
```
2x = 8 - 18/5
```
```
2x = 40/5 - 18/5
```
```
2x = 22/5
```
```
x = 11/5
```
したがって、解は(11/5, 6/5)です。