दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए बीजीय विधि

बीजीय विधि दो चरों में रैखिक समीकरण हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली मूलभूत तकनीकों में से एक है। इस विधि को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उन समस्याओं को हल करने में मदद करता है जहाँ दो अलग-अलग स्थितियों को एक साथ संतुष्ट करने की आवश्यकता होती है, जो अक्सर दो रैखिक समीकरणों के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं। इस दस्तावेज़ में, हम बीजीय विधि के अवधारणा, चरण-दर-चरण प्रक्रियाओं, उदाहरणों, और विभिन्न पहलुओं की खोज करेंगे।

दो चरों में रैखिक समीकरण का परिचय

दो चरों में एक रैखिक समीकरण ऐसा समीकरण होता है जिसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

ax + by = c

जहाँ x और y चर हैं, और a, b और c स्थिरांक हैं। इन समीकरणों का समाधान x और y के मानों का एक सेट है जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।

बीजीय विधि क्या है?

बीजीय विधि में एक चर को समाप्त करने के लिए बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करना शामिल है, जिससे आप दूसरे का हल निकाल सकते हैं। बीजीय विधि में मुख्य रूप से दो दृष्टिकोण होते हैं:

पुनर्स्थापन विधि
समापन विधि

1. प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि में एक समीकरण को एकल चर के लिए हल करना और इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना शामिल होता है। इससे समीकरण प्रणाली एक चर में एकल समीकरण में बदल जाती है। आइए हम चरणों को देखें:

एक समीकरण को निम्नलिखित चरों में से किसी एक के लिए हल करें:
किसी भी समीकरण का चयन करें और एक चर को दूसरे के अनुसार हल करें। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास यह समीकरण है:
```
x + 2y = 5
```
आप x को इस प्रकार हल कर सकते हैं:
```
x = 5 - 2y
```
इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
पहले चरण में पाए गए चर के लिए अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। हमारे उदाहरण को जारी रखते हुए, यदि दूसरा समीकरण है:
```
3x - y = 4
```
x = 5 - 2y को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
```
3(5 - 2y) - y = 4
```
उत्पन्न एकल-चर समीकरण को हल करें:
सरलीकृत करें और शेष चर के लिए हल करें:
```
15 - 6y - y = 4
```
```
15 - 7y = 4
```
```
-7y = 4 - 15
```
```
-7y = -11
```
```
y = 11/7
```
फिर से अन्य चर का पता लगाने के लिए प्रतिस्थापित करें:
Step 1 में प्राप्त अभिव्यक्ति में y के मान को प्रतिस्थापित करें ताकि x मिल सके:
```
x = 5 - 2(11/7)
```
इसे सरल बनाने पर, आपको मिल जाएगा:
```
x = 5 - 22/7
```
```
x = 35/7 - 22/7
```
```
x = 13/7
```
इस प्रकार, समाधान है (13/7, 11/7).

2. समापन विधि

समापन विधि में दो रैखिक समीकरणों को इस तरह संरेखित करना शामिल होता है कि उन्हें जोड़ने या घटाने से एक चर समाप्त हो जाता है। इससे आप शेष एकल-चर समीकरण को हल कर सकते हैं। इस विधि के लिए मूलभूत चरणों में शामिल हैं:

समीकरणों को संरेखित करें:
दोनों समीकरणों को सामान्य स्वरूप में लिखें और उन्हें एक चर को समाप्त करने पर ध्यान केंद्रित करने के लिए संरेखित करें। आइए विचार करें:
```
2x + 3y = 8
```
```
4x - 9y = -2
```
एक चर के गुणांक को तुल्य करें:
एक या दोनों समीकरणों को स्थिरांकों से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक बराबर (या विपरीत) हो जाएं। उदाहरण के लिए, पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:
```
4x + 6y = 16
```
अब, इससे दूसरे समीकरण को घटाएं:
```
(4x + 6y) - (4x - 9y) = (16) - (-2)
```
एक चर को समाप्त करें और दूसरे के लिए हल करें:
परिणाम को सरल करें:
```
4x + 6y - 4x + 9y = 16 + 2
```
```
15y = 18
```
```
y = 18/15
```
```
y = 6/5
```
फिर से अन्य चर का पता लगाने के लिए प्रतिस्थापित करें:
y के मान को मूल समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करें। पहला समीकरण चुनें:
```
2x + 3(6/5) = 8
```
सरलीकरण करने पर, हमें मिलता है:
```
2x + 18/5 = 8
```
```
2x = 8 - 18/5
```
```
2x = 40/5 - 18/5
```
```
2x = 22/5
```
```
x = 11/5
```
इस प्रकार, समाधान (11/5, 6/5) है।

निष्कर्ष

प्रतिस्थापन और समापन की बीजीय विधियों को समझना रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आवश्यक है। दोनों विधियाँ समस्या को एक चर के साथ एकल समीकरण में सरल बनाती हैं, जिससे इसे हल करना आसान हो जाता है। इन विधियों के साथ अभ्यास करने से समस्या-समाधान कौशल में सुधार होता है और अधिक उन्नत बीजगणितीय विषयों के लिए एक मजबूत नींव बनती है।

जैसे-जैसे आप इन समस्याओं पर काम करेंगे, आपको बीजगणित की सुंदरता और चर के बीच के संबंधों का स्पष्ट, तार्किक प्रक्रियाओं का उपयोग करके वर्णन और समाधान करने की क्षमता का पता चलेगा।

पढ़ा हुआ के रूप में चिह्नित करें

कक्षा 9 → 4.3

username

में पूर्ण हुआ कक्षा 9

← पिछला (4.2)

ग्राफिकल विधि

अगला (4.4) →

दो चरों में रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग की समझ