9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

9º ano → Geometria Analítica ↓


Coordenadas do ponto médio e centróide


A geometria das coordenadas, também chamada de geometria analítica, é onde a geometria encontra a álgebra. Usando gráficos e coordenadas, podemos fornecer uma dimensão extra aos problemas de geometria e encontrar coisas como distâncias, pontos médios e centróides.

Ponto médio de um segmento de linha

O ponto médio é o ponto que está exatamente no meio das extremidades do segmento de linha. Se você pensar nisso, quando você tem um segmento de linha conectando dois pontos, sempre há um ponto que é equidistante de ambos esses pontos. Esse é o ponto médio.

Fórmula do ponto médio

Suponha que você tenha um segmento de linha com extremidades (x1, y1) e (x2, y2). A fórmula para o ponto médio M(x, y) de um segmento de linha é dada pela média da coordenada x e a coordenada y das extremidades. A fórmula é a seguinte:

    M(x, y) = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Exemplo 1: Encontrando o ponto médio

Vamos calcular o ponto médio do segmento de linha com extremidades (2, 3) e (4, 7).

    x = (2 + 4) / 2 = 3 y = (3 + 7) / 2 = 5

Assim, o ponto médio é M (3, 5).

Exemplo 2: Representação visual

Considere dois pontos A(1, 2) e B(7, 8). Vamos encontrar o ponto médio e visualizá-lo também:

<svg width="300" height="300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="50" y1="250" x2="250" y2="150" stroke="black" stroke-width="2"/> <circle cx="50" cy="250" r="5" fill="red"/> <text x="35" y="265" font-family="sans-serif" font-size="16px">A(1,2)</text> <circle cx="250" cy="150" r="5" fill="blue"/> <text x="255" y="150" font-family="sans-serif" font-size="16px">B(7,8)</text> <circle cx="150" cy="200" r="5" fill="green"/> <text x="155" y="215" font-family="sans-serif" font-size="16px">M(4,5)</text> </svg>

No exemplo acima, o segmento de linha AB é mostrado com os pontos A e B marcados em vermelho e azul, respectivamente. O ponto verde é o ponto médio M(4, 5) calculado usando a fórmula do ponto médio.

Centróide de um triângulo

O centróide é um ponto de concorrência das medianas de um triângulo. Em outras palavras, é o lugar onde as três medianas de um triângulo se cruzam. A mediana é um segmento de linha que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.

Fórmula do centróide

O centróide G(x, y) para um triângulo com vértices (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) é dado por:

    G(x, y) = ( (x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3)

Exemplo 3: Encontrando o centróide

Considere um triângulo com vértices (1, 2), (3, 4) e (5, 6). Vamos encontrar o centróide:

    x = (1 + 3 + 5) / 3 = 3 y = (2 + 4 + 6) / 3 = 4

Portanto, o centróide é G (3, 4).

Exemplo 4: Exemplo visual

Imagine um triângulo contendo os pontos A(2, 2), B(4, 6) e C(6, 2). Queremos encontrar e mostrar o centróide:

<svg width="300" height="300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <polygon points="100,200 150,100 200,200" fill="none" stroke="black" stroke-width="2"/> <circle cx="100" cy="200" r="5" fill="red"/> <text x="85" y="215" font-family="sans-serif" font-size="16px">A</text> <circle cx="150" cy="100" r="5" fill="blue"/> <text x="155" y="95" font-family="sans-serif" font-size="16px">B</text> <circle cx="200" cy="200" r="5" fill="green"/> <text x="205" y="215" font-family="sans-serif" font-size="16px">C</text> <circle cx="150" cy="167" r="5" fill="purple"/> <text x="155" y="172" font-family="sans-serif" font-size="16px">G</text> </svg>

O ponto vermelho é A, o ponto azul é B, o ponto verde é C, e o ponto roxo é o centróide G.

Propriedades e aplicações

Propriedades do ponto médio

O ponto médio é muito útil para encontrar o ponto central entre quaisquer dois pontos dados. É amplamente utilizado nos seguintes cenários:

  • Bissecção de segmentos de linha: O ponto médio divide um segmento de linha em duas partes iguais.
  • Simetria: Em formas geométricas como retângulos e losangos, as diagonais se intersectam nos pontos médios.
  • Construção: Na construção e design, os pontos médios podem ajudar a garantir equilíbrio e simetria.

Propriedades do centróide

O centróide é importante em uma variedade de campos, especialmente em física e engenharia:

  • Centro de massa: O centróide serve como o ponto de equilíbrio ou centro de massa para um triângulo de densidade uniforme.
  • Interseção das medianas: Ele fornece um ponto onde três medianas de um triângulo se encontram, e divide cada mediana em segmentos na proporção de 2:1.
  • Aplicações no mundo real: É usado para encontrar o ponto ideal em redes e planejamento estratégico.

Mais exemplos

Exemplo 5: Ponto médio no plano de coordenadas

Você tem dois pontos no plano de coordenadas, (-3, -4) e (1, 2). Qual é o ponto médio?

    x = (-3 + 1) / 2 = -1 y = (-4 + 2) / 2 = -1

Portanto, o ponto médio é (-1, -1).

Exemplo 6: Centrando com coordenada negativa

Vamos encontrar o centróide do triângulo com vértices (-2, -3), (1, 5) e (4, -1).

    x = (-2 + 1 + 4) / 3 = 1 y = (-3 + 5 - 1) / 3 = (1) / 3 ≈ 0.33

Portanto, o centróide G é aproximadamente (1, 0.33).

Conclusão

Os conceitos de ponto médio e centróide são fundamentais em geometria de coordenadas. Eles servem como trampolins para tópicos mais avançados e são aplicados em uma gama de problemas práticos e teóricos.

Compreender como encontrar esses pontos através de suas fórmulas prepara você para lidar e raciocinar sobre problemas geométricos e algébricos mais complexos. O ponto médio adiciona a ideia de balanceamento de uma linha, enquanto o centróide expande essas ideias para o mundo dos triângulos.

Com esses conceitos em mente, pode-se explorar estruturas geométricas complexas e aplicações, como aquelas encontradas em trigonometria, cálculo e cenários de modelagem da vida real. De construir edifícios a projetar animações, pontos médios e centróides fornecem uma estrutura estável e estratégia!


9º ano → 3.6


U
username
0%
concluído em 9º ano

← Anterior (3.5)
Área de um triângulo
Próximo (4) →
Equações lineares em duas variáveis

Comentários 



Coordenadas do ponto médio e centróide

https://www.buddymath.com/g9/3.6?bmal=pt