Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Coordenadas del punto medio y del centroide


La geometría de coordenadas, también llamada geometría analítica, es donde la geometría se encuentra con el álgebra. Usando gráficos y coordenadas, podemos proporcionar una dimensión adicional a los problemas de geometría y encontrar cosas como distancias, puntos medios y centroides.

Punto medio de un segmento de línea

El punto medio es el punto que está exactamente en el medio de los extremos del segmento de línea. Si lo piensas, cuando tienes un segmento de línea que conecta dos puntos, siempre hay un punto que está equidistante de ambos puntos. Ese es el punto medio.

Fórmula del punto medio

Supongamos que tienes un segmento de línea con extremos (x1, y1) y (x2, y2). La fórmula para el punto medio M(x, y) de un segmento de línea se obtiene promediando la coordenada x y la coordenada y de los extremos. La fórmula es la siguiente:

    M(x, y) = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Ejemplo 1: Encontrar el punto medio

Vamos a calcular el punto medio del segmento de línea con extremos (2, 3) y (4, 7).

    x = (2 + 4) / 2 = 3 y = (3 + 7) / 2 = 5

Por lo tanto, el punto medio es M (3, 5).

Ejemplo 2: Representación visual

Consideremos dos puntos A(1, 2) y B(7, 8). Vamos a encontrar el punto medio y visualizarlo también:

<svg width="300" height="300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="50" y1="250" x2="250" y2="150" stroke="black" stroke-width="2"/> <circle cx="50" cy="250" r="5" fill="red"/> <text x="35" y="265" font-family="sans-serif" font-size="16px">A(1,2)</text> <circle cx="250" cy="150" r="5" fill="blue"/> <text x="255" y="150" font-family="sans-serif" font-size="16px">B(7,8)</text> <circle cx="150" cy="200" r="5" fill="green"/> <text x="155" y="215" font-family="sans-serif" font-size="16px">M(4,5)</text> </svg>

En el ejemplo anterior, el segmento de línea AB se muestra con los puntos A y B marcados en rojo y azul, respectivamente. El punto verde es el punto medio M(4, 5) calculado usando la fórmula del punto medio.

Centroide de un triángulo

El centroide es un punto de concurrencia de las medianas de un triángulo. En otras palabras, es el lugar donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. La mediana es un segmento de línea que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

Fórmula del centroide

El centroide G(x, y) para un triángulo con vértices (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) se obtiene de la siguiente manera:

    G(x, y) = ( (x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3)

Ejemplo 3: Encontrar el centroide

Consideremos un triángulo con vértices (1, 2), (3, 4) y (5, 6). Vamos a encontrar su centroide:

    x = (1 + 3 + 5) / 3 = 3 y = (2 + 4 + 6) / 3 = 4

Por lo tanto, el centroide es G (3, 4).

Ejemplo 4: Ejemplo visual

Imagina un triángulo que contiene los puntos A(2, 2), B(4, 6) y C(6, 2). Queremos encontrar y mostrar el centroide:

<svg width="300" height="300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <polygon points="100,200 150,100 200,200" fill="none" stroke="black" stroke-width="2"/> <circle cx="100" cy="200" r="5" fill="red"/> <text x="85" y="215" font-family="sans-serif" font-size="16px">A</text> <circle cx="150" cy="100" r="5" fill="blue"/> <text x="155" y="95" font-family="sans-serif" font-size="16px">B</text> <circle cx="200" cy="200" r="5" fill="green"/> <text x="205" y="215" font-family="sans-serif" font-size="16px">C</text> <circle cx="150" cy="167" r="5" fill="purple"/> <text x="155" y="172" font-family="sans-serif" font-size="16px">G</text> </svg>

El punto rojo es A, el punto azul es B, el punto verde es C y el punto púrpura es el centroide G.

Propiedades y aplicaciones

Propiedades del punto medio

El punto medio es muy útil para encontrar el punto central entre dos puntos dados. Se utiliza ampliamente en los siguientes escenarios:

  • Bisectriz de segmentos de línea: El punto medio divide un segmento de línea en dos partes iguales.
  • Simetría: En formas geométricas como rectángulos y rombos, las diagonales se cruzan en los puntos medios.
  • Construcción: En construcción y diseño, los puntos medios pueden ayudar a garantizar el equilibrio y la simetría.

Propiedades del centroide

El centroide es importante en una variedad de campos, especialmente en la física y la ingeniería:

  • Centro de masa: El centroide sirve como el punto de equilibrio o centro de masa para un triángulo de densidad uniforme.
  • Intersección de medianas: Proporciona un punto donde se encuentran las tres medianas de un triángulo y divide cada mediana en segmentos en la proporción de 2:1.
  • Aplicaciones en el mundo real: Se utiliza para encontrar el punto óptimo en redes y en la planificación estratégica.

Más ejemplos

Ejemplo 5: Punto medio en el plano de coordenadas

Tienes dos puntos en el plano de coordenadas, (-3, -4) y (1, 2). ¿Cuál es el punto medio?

    x = (-3 + 1) / 2 = -1 y = (-4 + 2) / 2 = -1

Por lo tanto, el punto medio es (-1, -1).

Ejemplo 6: Centroide con coordenada negativa

Vamos a encontrar el centroide del triángulo con vértices (-2, -3), (1, 5) y (4, -1).

    x = (-2 + 1 + 4) / 3 = 1 y = (-3 + 5 - 1) / 3 = (1) / 3 ≈ 0.33

Por lo tanto, el centroide G es aproximadamente (1, 0.33).

Conclusión

Los conceptos de punto medio y centroide son fundamentales en la geometría de coordenadas. Sirven como peldaños hacia temas más avanzados y se aplican en una variedad de problemas prácticos y teóricos.

Comprender cómo encontrar estos puntos a través de sus fórmulas te prepara para manejar y razonar sobre problemas geométricos y algebraicos más complejos. El punto medio aporta la idea de equilibrar una línea, mientras que el centroide extiende estas ideas al mundo de los triángulos.

Con estos conceptos en mente, uno puede explorar estructuras geométricas complejas y aplicaciones, como las que se encuentran en trigonometría, cálculo y situaciones de modelado en la vida real. Desde la construcción de edificios hasta el diseño de animaciones, los puntos medios y centroides proporcionan un marco estable y estratégico.


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Coordenadas del punto medio y del centroide

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