9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Área de um triângulo


Introdução

Entender a área de um triângulo é muito importante em geometria. Em geometria analítica, encontrar a área de um triângulo requer saber as coordenadas de seus vértices. Este método é útil quando os vértices estão posicionados em um plano de coordenadas. Usamos expressões algébricas envolvendo as coordenadas dos vértices para encontrar a área sem precisar conhecer os ângulos ou comprimentos dos lados.

Fórmula

Se você souber as coordenadas dos vértices de um triângulo, poderá encontrar sua área usando a seguinte fórmula:

Área = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Nesta fórmula, (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) são as coordenadas dos três vértices do triângulo. As barras verticais representam o valor absoluto, que garante que a área seja sempre positiva.

Entendendo a fórmula

Vamos nos aprofundar nesta fórmula. A ideia vem do determinante da matriz formada pelas coordenadas. Esta fórmula essencialmente calcula o dobro da área assinada de um triângulo considerando a inclinação das linhas que conectam os pontos.

Exemplo visual 1

Considere um triângulo com vértices em (1, 2), (4, 5) e (6, 2). Vamos calcular a área usando a fórmula:

Área = 0.5 * |1(5 - 2) + 4(2 - 2) + 6(2 - 5)| = 0.5 * |1(3) + 4(0) + 6(-3)| = 0.5 * |3 + 0 - 18| = 0.5 * |-15| = 0.5 * 15 = 7.5

Portanto, a área do triângulo é 7.5 unidades quadradas.

(1, 2)(4, 5)(6, 2)

Vantagens do método de coordenadas

Usar coordenadas oferece muita versatilidade, especialmente em áreas como gráficos computacionais, física e engenharia. Permite encontrar uma área sem precisar de alturas perpendiculares ou dividir o triângulo em segmentos menores. Este método está enraizado na álgebra, tornando-se um cálculo favorito em muitas aplicações.

Mais exemplos

Exemplo 2

Suponha que um triângulo tenha vértices (2, 3), (5, 11) e (12, 8). Calcule a área usando a fórmula.

Área = 0.5 * |2(11 - 8) + 5(8 - 3) + 12(3 - 11)| = 0.5 * |2(3) + 5(5) + 12(-8)| = 0.5 * |6 + 25 - 96| = 0.5 * |-65| = 0.5 * 65 = 32.5

A área deste triângulo é 32.5 unidades quadradas.

Exemplo 3

Para um triângulo com vértices (-1, 0), (3, 4) e (5, -2) a área é calculada da seguinte forma:

Área = 0.5 * |-1(4 - (-2)) + 3(-2 - 0) + 5(0 - 4)| = 0.5 * |-1(6) + 3(-2) + 5(-4)| = 0.5 * |-6 - 6 - 20| = 0.5 * |-32| = 0.5 * 32 = 16

Portanto, a área do triângulo é 16 unidades quadradas.

(-1, 0)(3, 4)(5, -2)

Problemas práticos

Tente calcular as áreas dos seguintes triângulos usando as coordenadas de seus vértices:

  1. Os vértices estão em (0, 0), (4, 0) e (0, 3).
  2. Os vértices estão em (-3, -4), (0, 0) e (3, -4).
  3. Os vértices estão em (-2, 2), (3, -1) e (5, 5).

Use a fórmula dada anteriormente para encontrar a área e verifique suas respostas.

Conclusão

Em suma, calcular a área de um triângulo em geometria analítica é eficiente e simples quando você tem as coordenadas dos vértices. Aplicando a fórmula, você pode determinar áreas em uma variedade de aplicações, beneficiando-se desse insight geométrico profundamente enraizado na álgebra. Este aspecto da geometria analítica serve a muitos propósitos em contextos teóricos e práticos.


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Área de um triângulo

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