三角形の面積
紹介
三角形の面積を理解することは幾何学において非常に重要です。座標幾何学において、三角形の面積を求めるためには、その頂点の座標を知る必要があります。この方法は、頂点が座標平面上に置かれているときに便利です。頂点の座標に関わる代数式を使用して、角度や辺の長さを知っている必要がなく面積を求めます。
公式
三角形の頂点の座標を知っている場合、次の公式を使用してその面積を求めることができます:
面積 = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
この公式では、(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)が三角形の3つの頂点の座標です。縦の棒は絶対値を表し、面積が常に正となることを保証します。
公式を理解する
この公式をさらに深く掘り下げてみましょう。このアイデアは、座標によって形成される行列の行列式に由来します。この公式は、本質的に、点を結ぶ線の傾斜を考慮して、三角形の符号付きの面積を2倍にしたものを計算しています。
視覚的な例1
頂点が(1, 2)、(4, 5)、(6, 2)にある三角形を考えてみましょう。公式を使用して面積を計算してみます:
面積 = 0.5 * |1(5 - 2) + 4(2 - 2) + 6(2 - 5)| = 0.5 * |1(3) + 4(0) + 6(-3)| = 0.5 * |3 + 0 - 18| = 0.5 * |-15| = 0.5 * 15 = 7.5
したがって、三角形の面積は7.5平方単位です。
座標法の利点
座標を使用することは、特にコンピュータグラフィックス、物理学、工学の分野で多くの柔軟性を提供します。垂直な高さや小さなセグメントに三角形を分割することなく面積を求めることができます。この方法は代数に基づいており、多くのアプリケーションで好んで計算されます。
さらなる例
例2
三角形の頂点が(2, 3)、(5, 11)、(12, 8)にあるとします。公式を使って面積を計算します。
面積 = 0.5 * |2(11 - 8) + 5(8 - 3) + 12(3 - 11)| = 0.5 * |2(3) + 5(5) + 12(-8)| = 0.5 * |6 + 25 - 96| = 0.5 * |-65| = 0.5 * 65 = 32.5
この三角形の面積は32.5平方単位です。
例3
頂点が(-1, 0)、(3, 4)、(5, -2)にある三角形の場合、面積は次のように計算されます:
面積 = 0.5 * |-1(4 - (-2)) + 3(-2 - 0) + 5(0 - 4)| = 0.5 * |-1(6) + 3(-2) + 5(-4)| = 0.5 * |-6 - 6 - 20| = 0.5 * |-32| = 0.5 * 32 = 16
したがって、三角形の面積は16平方単位です。
練習問題
次の三角形の頂点の座標を使って面積を計算してみましょう:
- 頂点が
(0, 0)、(4, 0)、(0, 3)にあります。 - 頂点が
(-3, -4)、(0, 0)、(3, -4)にあります。 - 頂点が
(-2, 2)、(3, -1)、(5, 5)にあります。
先に示した公式を使って面積を求め、答えを確認してください。
結論
要するに、座標幾何学における三角形の面積の計算は、頂点の座標がある場合に効率的で簡単です。この公式を適用することで、さまざまな用途で面積を特定することができ、この代数に深く根ざした幾何学的な洞察を利用することができます。この座標幾何学の側面は、理論的にも実践的にも多くの目的に役立っています。
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