Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Área de un triángulo


Introducción

Entender el área de un triángulo es muy importante en geometría. En geometría coordenada, encontrar el área de un triángulo requiere conocer las coordenadas de sus vértices. Este método es útil cuando los vértices están colocados en un plano de coordenadas. Usamos expresiones algebraicas que involucran las coordenadas de los vértices para encontrar el área sin necesidad de conocer los ángulos o las longitudes de los lados.

Fórmula

Si conoces las coordenadas de los vértices de un triángulo, puedes encontrar su área usando la siguiente fórmula:

Área = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

En esta fórmula, (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) son las coordenadas de los tres vértices del triángulo. Las barras verticales representan el valor absoluto, lo que asegura que el área sea siempre positiva.

Entendiendo la fórmula

Vamos a profundizar en esta fórmula. La idea proviene del determinante de la matriz formada por las coordenadas. Esta fórmula esencialmente calcula el doble del área con signo de un triángulo considerando la inclinación de las líneas que conectan los puntos.

Ejemplo visual 1

Considera un triángulo con vértices en (1, 2), (4, 5) y (6, 2). Vamos a calcular el área usando la fórmula:

Área = 0.5 * |1(5 - 2) + 4(2 - 2) + 6(2 - 5)| = 0.5 * |1(3) + 4(0) + 6(-3)| = 0.5 * |3 + 0 - 18| = 0.5 * |-15| = 0.5 * 15 = 7.5

Por lo tanto, el área del triángulo es 7.5 unidades cuadradas.

(1, 2)(4, 5)(6, 2)

Ventajas del método de coordenadas

Usar coordenadas ofrece mucha versatilidad, especialmente en campos como gráficos por computadora, física e ingeniería. Permite encontrar un área sin necesidad de alturas perpendiculares o de dividir el triángulo en segmentos más pequeños. Este método está arraigado en el álgebra, lo que lo hace un cálculo favorito en muchas aplicaciones.

Más ejemplos

Ejemplo 2

Supongamos que un triángulo tiene vértices (2, 3), (5, 11) y (12, 8). Calcula el área usando la fórmula.

Área = 0.5 * |2(11 - 8) + 5(8 - 3) + 12(3 - 11)| = 0.5 * |2(3) + 5(5) + 12(-8)| = 0.5 * |6 + 25 - 96| = 0.5 * |-65| = 0.5 * 65 = 32.5

El área de este triángulo es 32.5 unidades cuadradas.

Ejemplo 3

Para un triángulo con vértices (-1, 0), (3, 4) y (5, -2) el área se calcula de la siguiente manera:

Área = 0.5 * |-1(4 - (-2)) + 3(-2 - 0) + 5(0 - 4)| = 0.5 * |-1(6) + 3(-2) + 5(-4)| = 0.5 * |-6 - 6 - 20| = 0.5 * |-32| = 0.5 * 32 = 16

Por lo tanto, el área del triángulo es 16 unidades cuadradas.

(-1, 0)(3, 4)(5, -2)

Problemas de práctica

Intenta calcular las áreas de los siguientes triángulos usando las coordenadas de sus vértices:

  1. Los vértices están en (0, 0), (4, 0) y (0, 3).
  2. Los vértices están en (-3, -4), (0, 0) y (3, -4).
  3. Los vértices están en (-2, 2), (3, -1) y (5, 5).

Usa la fórmula dada anteriormente para encontrar el área y verificar tus respuestas.

Conclusión

En resumen, calcular el área de un triángulo en geometría coordenada es eficiente y simple cuando tienes las coordenadas de los vértices. Al aplicar la fórmula, puedes determinar áreas en una variedad de aplicaciones, beneficiándote de esta visión geométrica profundamente arraigada en el álgebra. Este aspecto de la geometría coordenada sirve para muchos propósitos tanto en contextos teóricos como prácticos.


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