Класс 9
  1. Числовые системы  1.1. Понимание действительных чисел  1.2. Рациональные числа  1.3. Иррациональные числа  1.4. Свойства действительных чисел  1.5. Законы степеней и радикалов  1.6. Представление на числовой прямой  1.7. Десятичное представление действительных чисел
  2. Многочлены  2.1. Определение и виды многочленов  2.2. Степень многочлена  2.3. Нули многочлена  2.4. Введение в теорему о остатке  2.5. Разложение многочленов  2.6. Понимание алгебраических тождеств  2.7. Полиномиальные уравнения и корни
  3. Координатная геометрия  3.1. Картезианская система  3.2. Рисование точек на плоскости  3.3. Понимание формулы расстояния в координатной геометрии  3.4. Формула отрезка  3.5. Площадь треугольника  3.6. Координаты середины и центра тяжести
  4. Линейные уравнения с двумя переменными  4.1. Решения линейного уравнения  4.2. Графический метод  4.3. Алгебраический метод решения линейных уравнений с двумя переменными  4.4. Понимание применения линейных уравнений с двумя переменными  4.5. Введение в линейные неравенства с двумя переменными
  5. Введение в евклидову геометрию  5.1. Основные определения и термины в евклидовой геометрии  5.2. Аксиомы и постулаты  5.3. Теоремы об углах и линиях  5.4. Свойства параллельных линий  5.5. Построение треугольников  5.6. Аксиома конгруентности
  6. Прямые и углы  6.1. Понимание отношений угловых пар  6.2. Параллельные линии и поперечные линии  6.3. Свойства углов, образованных параллельными линиями  6.4. Сумма углов треугольника  6.5. Типы углов
  7. Треугольник  7.1. Конгруэнтность треугольников  7.2. Критерии конгруэнтности в треугольниках  7.3. Свойства треугольников  7.4. Неравенства в треугольнике  7.5. Сходство треугольников  7.6. Теорема Пифагора
  8. Четырехугольник  8.1. Свойства четырехугольников  8.2. Типы четырехугольников  8.3. Теорема о середине в четырехугольниках  8.4. Свойства параллелограмма  8.5. Свойства трапеции и ромба  8.6. Диагонали и их свойства
  9. Площади параллелограммов и треугольников  9.1. Площадь параллелограмма  9.2. Понимание площади треугольника  9.3. Доказательства теории площадей  9.4. Применение теории полей
  10. Понимание кругов  10.1. Определения и терминология  10.2. Свойства круга  10.3. Понимание свойств хордов в окружностях  10.4. Касательные к окружности  10.5. Циклический четырехугольник  10.6. Понимание дуг и углов, образуемых в кругах
  11. Строительство  11.1. Основные конструкции  11.2. Построение биссектрисы  11.3. Построение треугольников  11.4. Построение касательных к окружности  11.5. Построение углов заданной величины
  12. Понимание формулы Герона  12.1. Площадь треугольника с использованием формулы Герона  12.2. Использование формулы Герона для различных треугольников и четырехугольников  12.3. Доказательство формулы Герона
  13. Площадь поверхности и объем  13.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  13.2. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  13.3. Площадь поверхности и объем конуса  13.4. Площадь поверхности и объем сферы и полусферы  13.5. Преобразование единиц измерения  13.6. Объем призмы
  14. Числа  14.1. Сбор данных  14.2. Представление данных  14.3. Введение в меры центральной тенденции  14.4. Среднее, медиана и мода  14.5. Графическое представление данных  14.6. Объем и измерение дисперсии
  15. Понимание вероятности  15.1. Введение в теорию вероятностей  15.2. Экспериментальная вероятность  15.3. Теоретическая вероятность  15.4. Простые задачи по вероятности

Класс 9 → Координатная геометрия ↓


Формула отрезка


Формула отрезка в координатной геометрии — это метод, используемый для нахождения координат точки, которая делит отрезок на две части в заданном отношении. Это полезный инструмент в математике для решения задач, связанных с делением отрезка определенным образом. Давайте рассмотрим эту концепцию подробно с подробными примерами и математическими выводами.

Понимание отрезков

Отрезок — это часть прямой, которая имеет две конечные точки. Представьте прямую линию, проведенную между этими конечными точками. Если вы хотите найти конкретную точку на этой линии, которая делит ее в отношении 2:3, как бы вы это сделали? Это как раз тот случай, когда используется формула отрезка.

Типы делений

Формула отрезка может быть использована для двух типов делений:

  • Внутренние деления
  • Внешние деления

Внутренние деления

Внутреннее деление означает, что точка, делящая отрезок, находится между двумя конечными точками.

Нахождение точки раздела внутренне

Предположим, у вас есть отрезок, определяемый двумя точками, точка A(x 1, y 1) и точка B(x 2, y 2). Если точка P делит отрезок AB внутренне в отношении m:n, то координаты точки P можно рассчитать с помощью следующей формулы отрезка:

    P(x, y) = ( (mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n) )

В приведенной выше формуле:

  • x = (mx 2 + nx 1) / (m + n)
  • y = (m y 2 + ny 1) / (m + n)

Пример внутреннего деления

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять эту концепцию.

Пример 1:

Предположим, у вас есть отрезок с конечными точками A(2, 3) и B(8, 5). Найдите точку, которая делит отрезок внутренне в отношении 3:2.

Используя формулу отрезка:

    P(x, y) = ( (3 * 8 + 2 * 2) / (3 + 2), (3 * 5 + 2 * 3) / (3 + 2) ) = ( (24 + 4) / 5, (15 + 6) / 5 ) = (28/5, 21/5)

Таким образом, координаты точки, делящей отрезок в отношении 3:2, равны (28/5, 21/5).

Визуальный пример

A(2, 3) B(8, 5) P(28/5, 21/5)

Внешние деления

Внешнее деление означает, что точка, делящая отрезок, не лежит между двумя конечными точками, а выходит за пределы отрезка.

Обнаружение точек раздела внешне

Когда точка P делит отрезок AB внешне в отношении m:n, вы используете формулу отрезка немного иначе:

    P(x, y) = ( (mx2 - nx1) / (m - n), (my2 - ny1) / (m - n) )

В приведенной выше формуле:

  • x = ( mx2 - nx1 ) / (m - n)
  • y = (m y 2 - ny 1) / (m - n)

Пример внешнего деления

Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это работает.

Пример 2:

Рассмотрим отрезок с конечными точками A(1, 2) и B(5, 6). Найдите точку, которая делит отрезок внешне в отношении 1:2.

Применяя формулу отрезка к внешнему делению:

    P(x, y) = ( (1 * 5 - 2 * 1) / (1 - 2), (1 * 6 - 2 * 2) / (1 - 2) ) = ( (5 - 2) / -1, (6 - 4) / -1 ) = (3/-1, 2/-1) = (-3, -2)

Таким образом, координаты точки, делящей отрезок внешне в отношении 1:2, равны (-3, -2).

Визуальный пример

A(1, 2) B(5, 6) P(-3, -2)

Особые случаи

Формула отрезка не ограничивается только нахождением некоторых произвольных точек, которые делят отрезок. Существуют особые случаи, когда ее можно применить к определенным геометрическим отношениям, таким как нахождение средних точек или центроидов.

Середина

Средняя точка делит отрезок на две равные части. Среднюю точку можно найти, установив m:n в отношение 1:1. Это упрощает формулу до очень простой формы:

    Средняя точка M(x, y) = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )

Пример:

Чтобы найти среднюю точку отрезка с конечными точками A(4, 8) и B(10, 6).

    Средняя точка M(x, y) = ( (4 + 10) / 2, (8 + 6) / 2 ) = (14/2, 14/2) = (7, 7)

Средняя точка отрезка равна (7, 7).

A(4, 8) B(10, 6) M(7, 7)

Практические задачи

Теперь решите эти практические задачи, чтобы закрепить ваше понимание формулы отрезка:

  1. Найдите точку, которая делит внутренне отрезок, соединяющий точки A(-3, 4) и B(5, -2), в отношении 2:3.
  2. Определите точку, которая делит отрезок между координатами A(0, 2) и B(10, -4) пополам.
  3. Найдите точку внешнего деления для отрезка, чьи конечные точки A(2, 3) и B(6, 7) находятся в отношении 5:3.
  4. Вычислите точку, которая делит отрезок, соединяющий A(-7, -4) и B(3, 9) внутренне в отношении 4:7 и внешне в отношении 3:2.

Заключение

Формула отрезка — это фундаментальный инструмент в координатной геометрии, который помогает найти точную точку на линии, делящей ее в заданных отношениях. Независимо от того, внутренне или внешне, формула предоставляет структурированный подход к решению геометрических задач, связанных с отрезками. Практикуясь и применяя ее в различных сценариях, вы можете повысить свои понимание и навыки решения задач в геометрии.


Класс 9 → 3.4


U
username
0%
завершено в Класс 9

← предыдущая (3.3)
Понимание формулы расстояния в координатной геометрии
следующая (3.5) →
Площадь треугольника

комментарии 



Формула отрезка

https://www.buddymath.com/g9/3.4?bmal=ru