9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Fórmula de Secção


A fórmula de secção na geometria coordenada é um método usado para encontrar as coordenadas de um ponto que divide um segmento de linha em duas partes em uma proporção dada. É uma ferramenta útil na matemática para resolver problemas relacionados à divisão de um segmento de linha de uma maneira específica. Vamos olhar este conceito em detalhe com exemplos detalhados e derivações matemáticas.

Compreendendo os segmentos de linha

Um segmento de linha é uma parte de uma linha que tem dois pontos finais. Imagine uma linha reta desenhada entre esses pontos finais. Se você quiser encontrar um ponto específico ao longo desta linha que a divida em uma proporção de 2:3, como você faria isso? É aí que a fórmula de secção entra em jogo.

Tipos de partições

A fórmula do segmento pode ser usada para dois tipos de divisão:

  • Divisões internas
  • Divisões externas

Divisões internas

A divisão interna significa que o ponto que divide o segmento de linha está entre os dois pontos finais.

Encontrando o ponto de divisão internamente

Suponha que você tenha um segmento de linha definido por dois pontos, ponto A(x 1, y 1) e ponto B(x 2, y 2). Se o ponto P divide o segmento de linha AB internamente na razão m:n, então as coordenadas do ponto P podem ser calculadas usando a seguinte fórmula de secção:

    P(x, y) = ( (mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n) )

Na fórmula acima:

  • x = (mx 2 + nx 1) / (m + n)
  • y = (m y 2 + ny 1) / (m + n)

Exemplo de partição interna

Vamos ver um exemplo para entender melhor este conceito.

Exemplo 1:

Suponha que você tenha um segmento de linha com pontos finais A(2, 3) e B(8, 5). Encontre o ponto que divide o segmento de linha internamente na proporção de 3:2.

Usando a fórmula de secção:

    P(x, y) = ( (3 * 8 + 2 * 2) / (3 + 2), (3 * 5 + 2 * 3) / (3 + 2) ) = ( (24 + 4) / 5, (15 + 6) / 5 ) = (28/5, 21/5)

Assim, as coordenadas do ponto que divide o segmento de linha na proporção de 3:2 são (28/5, 21/5).

Exemplo visual

A(2, 3) B(8, 5) P(28/5, 21/5)

Divisões externas

A divisão externa significa que o ponto que divide o segmento de linha não está entre os dois pontos finais, mas se estende para fora do segmento de linha.

Detectando pontos de divisão externamente

Quando o ponto P divide o segmento de linha AB externamente na proporção m:n, você usa a fórmula do segmento de forma um pouco diferente:

    P(x, y) = ( (mx2 - nx1) / (m - n), (my2 - ny1) / (m - n) )

Na fórmula acima:

  • x = ( mx2 - nx1 ) / (m - n)
  • y = (m y 2 - ny 1) / (m - n)

Exemplo de divisão externa

Vamos ver um exemplo para entender como isso funciona.

Exemplo 2:

Considere um segmento de linha com pontos finais A(1, 2) e B(5, 6). Encontre o ponto que divide o segmento de linha externamente na proporção 1:2.

Aplicando a fórmula de secção para a divisão externa:

    P(x, y) = ( (1 * 5 - 2 * 1) / (1 - 2), (1 * 6 - 2 * 2) / (1 - 2) ) = ( (5 - 2) / -1, (6 - 4) / -1 ) = (3/-1, 2/-1) = (-3, -2)

Assim, as coordenadas do ponto que divide o segmento de linha externamente na proporção 1:2 são (-3, -2).

Exemplo visual

A(1, 2) B(5, 6) P(-3, -2)

Casos especiais

A fórmula de secção não se limita apenas a encontrar alguns pontos arbitrários que dividem um segmento de linha. Existem casos especiais onde pode ser aplicado a relações geométricas específicas, como encontrar pontos médios ou centroides.

Meio

O ponto médio divide um segmento de linha em duas partes iguais. O ponto médio pode ser encontrado definindo m:n para uma razão de 1:1. Isso simplifica a fórmula para uma forma muito simples:

    Ponto médio M(x, y) = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )

Exemplo:

Para encontrar o ponto médio de um segmento de linha com pontos finais A(4, 8) e B(10, 6).

    Ponto médio M(x, y) = ( (4 + 10) / 2, (8 + 6) / 2 ) = (14/2, 14/2) = (7, 7)

O ponto médio do segmento de linha é (7, 7).

A(4, 8) B(10, 6) M(7, 7)

Problemas práticos

Agora, resolva estes problemas práticos para solidificar sua compreensão da fórmula de secção:

  1. Encontre o ponto que divide internamente o segmento de linha que une os pontos A(-3, 4) e B(5, -2) na proporção 2:3.
  2. Determine o ponto que bissecta o segmento de linha entre as coordenadas A(0, 2) e B(10, -4).
  3. Encontre o ponto de divisão externa para um segmento de linha cujos pontos finais A(2, 3) e B(6, 7) estão na proporção 5:3.
  4. Calcule o ponto que divide o segmento de linha que une A(-7, -4) e B(3, 9) internamente na proporção 4:7 e externamente na proporção 3:2.

Conclusão

A fórmula de secção é uma ferramenta fundamental na geometria coordenada que ajuda a encontrar o ponto exato ao longo de uma linha que o divide em proporções especificadas. Seja internamente ou externamente, a fórmula fornece uma abordagem estruturada para resolver problemas de geometria envolvendo segmentos de linha. Praticando e aplicando em diferentes cenários, você pode aprimorar sua compreensão e habilidades de resolução de problemas em geometria.


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