セクション公式

座標幾何におけるセクション公式は、直線を与えられた比で2つの部分に分割する点の座標を見つけるための方法です。これは、特定の方法で線分を分割する問題を解くための数学における有用なツールです。詳細な例と数学的導出を用いてこの概念を詳しく見ていきましょう。

線分を理解する

線分は、2つの端点を持つ線の一部です。これらの端点の間に引かれた直線を想像してください。この線を2:3の比で分割する特定の点を見つけたい場合、どのようにそれを行いますか？ここでセクション公式が役立ちます。

分割の種類

セグメント公式は2つの種類の分割に使用できます：

• 内部分割
• 外部分割

内部分割

内部分割とは、線分を分割する点が2つの端点の間にあることを意味します。

内部で分割点を見つける

点A(x ₁, y ₁)と点B(x ₂, y ₂)によって定義される線分を考えます。点Pが線分ABを内部で比m:nで分割するとき、点Pの座標は次のセクション公式を使用して計算できます：

    P(x, y) = ( (mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n) )

上記の公式では：

• x = (mx ₂ + nx ₁) / (m + n)
• y = (m y ₂ + ny ₁) / (m + n)

内部分割の例

この概念をよりよく理解するための例を考えてみましょう。

例1：

端点A(2, 3)とB(8, 5)を持つ線分を考えます。線分を内部で3:2の比で分割する点を見つけなさい。

セクション公式を使用して：

    P(x, y) = ( (3 * 8 + 2 * 2) / (3 + 2), (3 * 5 + 2 * 3) / (3 + 2) ) = ( (24 + 4) / 5, (15 + 6) / 5 ) = (28/5, 21/5)

したがって、線分を3:2の比で分割する点の座標は(28/5, 21/5)です。

視覚的な例

外部分割

外部分割とは、線分を分割する点が2つの端点の間にないが、線分の外側に伸びていることを意味します。

外部で分割点を検出する

点Pが線分ABを比m:nで外部で分割するとき、セグメント公式を少し異なって使用します：

    P(x, y) = ( (mx2 - nx1) / (m - n), (my2 - ny1) / (m - n) )

上記の公式では：

• x = ( _mx2 - _nx1 ) / (m - n)
• y = (m y ₂ - ny ₁) / (m - n)

外部分割の例

この方法がどのように機能するかを見るための例を見てみましょう。

例2：

端点A(1, 2)とB(5, 6)を持つ線分を考えます。線分を外部で1:2の比で分割する点を見つけなさい。

外部分割にセクション公式を適用します：

    P(x, y) = ( (1 * 5 - 2 * 1) / (1 - 2), (1 * 6 - 2 * 2) / (1 - 2) ) = ( (5 - 2) / -1, (6 - 4) / -1 ) = (3/-1, 2/-1) = (-3, -2)

したがって、線分を外部で1:2の比で分割する点の座標は(-3, -2)です。

視覚的な例

特別なケース

セクション公式は、線分を分割する任意の点を見つけるだけに限定されていません。中点や重心を見つけるなど、特定の幾何学的関係に適用できる特別なケースがあります。

中点

中点は線分を2つの等しい部分に分割します。m:nの比を1:1に設定することで、中点を見つけることができます。これにより、公式は非常にシンプルな形に簡略化されます：

    中点 M(x, y) = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )

例：

端点A(4, 8)とB(10, 6)を持つ線分の中点を見つけなさい。

    中点 M(x, y) = ( (4 + 10) / 2, (8 + 6) / 2 ) = (14/2, 14/2) = (7, 7)

線分の中点は(7, 7)です。

練習問題

セクション公式の理解を深めるために、これらの練習問題を解いてください：

1. 点A(-3, 4)とB(5, -2)を結ぶ線分を内部で2:3の比に分割する点を見つけなさい。
2. 座標A(0, 2)とB(10, -4)の間の線分を二等分する点を決定しなさい。
3. 端点A(2, 3)とB(6, 7)を持つ線分の外部分割点を5:3の比で見つけなさい。
4. 点A(-7, -4)とB(3, 9)を結ぶ線分を比4:7で内部に、3:2で外部に分割する点を計算しなさい。

結論

セクション公式は、指定された比で線を分割する正確な点を見つけるのに役立つ、座標幾何の基本的なツールです。内部でも外部でも、この公式は線分に関わる幾何学の問題を解くための構造化されたアプローチを提供します。異なるシナリオでそれを練習し適用することで、幾何学における理解と問題解決能力を向上させることができます。

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