सेक्शन सूत्र

कोऑर्डिनेट ज्यामिति में सेक्शन सूत्र का उपयोग किसी रेखा खंड को दिए गए अनुपात में दो भागों में विभाजित करने वाले बिंदु का निर्देशांक खोजने के लिए किया जाता है। यह गणित में रेखा खंड को एक विशिष्ट तरीके से विभाजित करने से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। चलिए इस अवधारणा को विस्तार से देखते हैं उदाहरणों और गणितीय व्युत्पत्तियों के साथ।

रेखा खंड को समझना

रेखा खंड एक सीधी रेखा का हिस्सा होता है जिसके दो छोर होते हैं। कल्पना कीजिए कि इन छोरों के बीच एक सीधी रेखा खींची गई है। यदि आप इस रेखा के साथ एक विशिष्ट बिंदु खोजना चाहते हैं जो इसे 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है, तो आप इसे कैसे करेंगे? यहां सेक्शन सूत्र का महत्व आता है।

विभाजन के प्रकार

सेगमेंट सूत्र का उपयोग दो प्रकार के विभाजन के लिए किया जा सकता है:

• आंतरिक विभाजन
• बाहरी विभाजन

आंतरिक विभाजन

आंतरिक विभाजन का अर्थ है कि रेखा खंड को विभाजित करने वाला बिंदु दो छोरों के बीच में स्थित होता है।

आंतरिक रूप से विभाजित बिंदु खोजना

मान लीजिए आपके पास एक रेखा खंड है जो दो बिंदुओं, A(x ₁, y ₁) और B(x ₂, y ₂) द्वारा परिभाषित है। यदि बिंदु P रेखा खंड AB को m:n के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो बिंदु P का निर्देशांक निम्नलिखित सेक्शन सूत्र के द्वारा गणना किया जा सकता है:

    P(x, y) = ( (mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n) )

उपरोक्त सूत्र में:

• x = (mx ₂ + nx ₁) / (m + n)
• y = (m y ₂ + ny ₁) / (m + n)

आंतरिक विभाजन का उदाहरण

इस अवधारणा को बेहतर समझने के लिए एक उदाहरण देखते हैं।

उदाहरण 1:

मान लें कि आपके पास एक रेखा खंड है जिसके अंत बिंदु A(2, 3) और B(8, 5) हैं। बिंदु खोजें जो रेखा खंड को 3:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

सेक्शन सूत्र का उपयोग करके:

    P(x, y) = ( (3 * 8 + 2 * 2) / (3 + 2), (3 * 5 + 2 * 3) / (3 + 2) ) = ( (24 + 4) / 5, (15 + 6) / 5 ) = (28/5, 21/5)

इस प्रकार, रेखा खंड को 3:2 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का निर्देशांक (28/5, 21/5) है।

दृश्य उदाहरण

बाहरी विभाजन

बाहरी विभाजन का अर्थ है कि रेखा खंड को विभाजित करने वाला बिंदु दो छोरों के बीच में नहीं है, बल्कि रेखा खंड के बाहर विस्तारित होता है।

बाहरी रूप से विभाजित बिंदु का पता लगाना

जब बिंदु P रेखा खंड AB को m:n के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करता है, तो आप सेगमेंट सूत्र का थोड़ा अलग इस्तेमाल करते हैं:

    P(x, y) = ( (mx2 - nx1) / (m - n), (my2 - ny1) / (m - n) )

उपरोक्त सूत्र में:

• x = ( _mx2 - _nx1 ) / (m - n)
• y = (m y ₂ - ny ₁) / (m - n)

बाहरी विभाजन का उदाहरण

आइए एक उदाहरण देखें कि यह कैसे काम करता है।

उदाहरण 2:

मान लें कि एक रेखा खंड के अंत बिंदु A(1, 2) और B(5, 6) हैं। बिंदु खोजें जो रेखा खंड को 1:2 के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करता है।

बाहरी विभाजन के लिए सेक्शन सूत्र को लागू करते हुए:

    P(x, y) = ( (1 * 5 - 2 * 1) / (1 - 2), (1 * 6 - 2 * 2) / (1 - 2) ) = ( (5 - 2) / -1, (6 - 4) / -1 ) = (3/-1, 2/-1) = (-3, -2)

इस प्रकार, रेखा खंड को 1:2 के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करने वाले बिंदु का निर्देशांक (-3, -2) है।

दृश्य उदाहरण

विशेष मामले

सेक्शन सूत्र का उपयोग केवल कुछ मनमानी बिंदुओं को खोजने तक सीमित नहीं है जो रेखा खंड को विभाजित करते हैं। ऐसे विशेष मामले होते हैं जहां इसे विशिष्ट ज्यामितीय संबंधों पर लागू किया जा सकता है, जैसे मध्य बिंदु या केंद्रक खोजने के लिए।

मध्य बिंदु

मध्य बिंदु रेखा खंड को दो समान भागों में विभाजित करता है। मध्य बिंदु को m:n अनुपात को 1:1 पर सेट करके पाया जा सकता है। इससे सूत्र बहुत ही सरल रूप में सरल हो जाता है:

    Midpoint M(x, y) = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )

उदाहरण:

एक रेखा खंड के मध्य बिंदु को खोजने के लिए जिसके अंत बिंदु A(4, 8) और B(10, 6) हैं।

    Midpoint M(x, y) = ( (4 + 10) / 2, (8 + 6) / 2 ) = (14/2, 14/2) = (7, 7)

रेखा खंड का मध्य बिंदु (7, 7) है।

अभ्यास समस्याएँ

अब, इन अभ्यास समस्याओं को हल करें ताकि आप सेक्शन सूत्र की अपनी समझ को मजबूत कर सकें:

1. बिंदु खोजें जो आंतरिक रूप से रेखा खंड को जोड़ने वाले बिंदु A(-3, 4) और B(5, -2) को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।
2. उस बिंदु को निर्धारित करें जो बिंदुओं A(0, 2) और B(10, -4) के बीच रेखा खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
3. रेखा खंड के लिए बाहरी विभाजन बिंदु खोजें जिसके अंत बिंदु A(2, 3) और B(6, 7) 5:3 के अनुपात में हैं।
4. उस बिंदु की गणना करें जो रेखा खंड को जोड़ने वाले A(-7, -4) और B(3, 9) को 4:7 के अनुपात में आंतरिक रूप से और 3:2 के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।

निष्कर्ष

सेक्शन सूत्र कोऑर्डिनेट ज्यामिति में एक मौलिक उपकरण है जो किसी रेखा के साथ एक सटीक बिंदु खोजने में मदद करता है जो इसे निर्दिष्ट अनुपात में विभाजित करता है। चाहे आंतरिक रूप से हो या बाहरी रूप से, यह सूत्र रेखा खंडों को शामिल करने वाली ज्यामिति समस्याओं को हल करने के लिए एक संरचित दृष्टिकोण प्रदान करता है। इसे विभिन्न परिदृश्यों में अभ्यास और लागू करके, आप ज्यामिति में अपनी समझ और समस्या-समाधान कौशल को बढ़ा सकते हैं।

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