Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Fórmula de sección


La fórmula de sección en geometría de coordenadas es un método utilizado para encontrar las coordenadas de un punto que divide un segmento de línea en dos partes en una proporción dada. Es una herramienta útil en matemáticas para resolver problemas relacionados con la división de un segmento de línea de una manera específica. Veamos este concepto en detalle con ejemplos detallados y derivaciones matemáticas.

Entendiendo los segmentos de línea

Un segmento de línea es una parte de una línea que tiene dos puntos finales. Imagina una línea recta dibujada entre estos puntos finales. Si quieres encontrar un punto específico a lo largo de esta línea que la divida en una proporción de 2:3, ¿cómo lo harías? Aquí es donde entra en juego la fórmula de sección.

Tipos de particiones

La fórmula del segmento se puede utilizar para dos tipos de división:

  • Divisiones internas
  • Divisiones externas

Divisiones internas

La división interna significa que el punto que divide el segmento de línea se encuentra entre los dos puntos extremos.

Encontrar el punto de división internamente

Supongamos que tienes un segmento de línea definido por dos puntos, el punto A(x 1, y 1) y el punto B(x 2, y 2). Si el punto P divide el segmento de línea AB internamente en la proporción m:n, entonces las coordenadas del punto P pueden calcularse utilizando la siguiente fórmula de sección:

    P(x, y) = ( (mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n) )

En la fórmula anterior:

  • x = (mx 2 + nx 1) / (m + n)
  • y = (m y 2 + ny 1) / (m + n)

Ejemplo de partición interior

Tomemos un ejemplo para entender mejor este concepto.

Ejemplo 1:

Supongamos que tienes un segmento de línea con puntos finales A(2, 3) y B(8, 5). Encuentra el punto que divide el segmento de línea internamente en la proporción de 3:2.

Usando la fórmula de sección:

    P(x, y) = ( (3 * 8 + 2 * 2) / (3 + 2), (3 * 5 + 2 * 3) / (3 + 2) ) = ( (24 + 4) / 5, (15 + 6) / 5 ) = (28/5, 21/5)

Por lo tanto, las coordenadas del punto que divide el segmento de línea en la proporción de 3:2 son (28/5, 21/5).

Ejemplo visual

A(2, 3) B(8, 5) P(28/5, 21/5)

Divisiones externas

La división externa significa que el punto que divide el segmento de línea no se encuentra entre los dos puntos finales, sino que se extiende fuera del segmento de línea.

Detectar puntos de división externamente

Cuando el punto P divide el segmento de línea AB externamente en la proporción m:n, se usa la fórmula del segmento de una manera ligeramente diferente:

    P(x, y) = ( (mx2 - nx1) / (m - n), (my2 - ny1) / (m - n) )

En la fórmula anterior:

  • x = ( mx2 - nx1 ) / (m - n)
  • y = (m y 2 - ny 1) / (m - n)

Ejemplo de división externa

Veamos un ejemplo para ver cómo funciona esto.

Ejemplo 2:

Considera un segmento de línea con puntos finales A(1, 2) y B(5, 6). Encuentra el punto que divide el segmento de línea externamente en la proporción 1:2.

Aplicando la fórmula de sección a la división externa:

    P(x, y) = ( (1 * 5 - 2 * 1) / (1 - 2), (1 * 6 - 2 * 2) / (1 - 2) ) = ( (5 - 2) / -1, (6 - 4) / -1 ) = (3/-1, 2/-1) = (-3, -2)

Por lo tanto, las coordenadas del punto que divide el segmento de línea externamente en la proporción 1:2 son (-3, -2).

Ejemplo visual

A(1, 2) B(5, 6) P(-3, -2)

Casos especiales

La fórmula de sección no se limita solo a encontrar algunos puntos arbitrarios que dividen un segmento de línea. Hay casos especiales en los que se puede aplicar a relaciones geométricas específicas, como encontrar puntos medios o centroides.

Medio

El punto medio divide un segmento de línea en dos partes iguales. El punto medio se puede encontrar estableciendo m:n a una proporción de 1:1. Esto simplifica la fórmula a una forma muy simple:

    Punto medio M(x, y) = ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )

Ejemplo:

Para encontrar el punto medio de un segmento de línea con puntos finales A(4, 8) y B(10, 6).

    Punto medio M(x, y) = ( (4 + 10) / 2, (8 + 6) / 2 ) = (14/2, 14/2) = (7, 7)

El punto medio del segmento de línea es (7, 7).

A(4, 8) B(10, 6) M(7, 7)

Problemas de práctica

Ahora, resuelve estos problemas de práctica para solidificar tu comprensión de la fórmula de sección:

  1. Encuentra el punto que divide internamente el segmento de línea que une los puntos A(-3, 4) y B(5, -2) en la proporción 2:3.
  2. Determina el punto que biseca el segmento de línea entre las coordenadas A(0, 2) y B(10, -4).
  3. Encuentra el punto de división externa para un segmento de línea cuyos puntos finales A(2, 3) y B(6, 7) están en la proporción 5:3.
  4. Calcula el punto que divide el segmento de línea que une A(-7, -4) y B(3, 9) internamente en la proporción 4:7 y externamente en la proporción 3:2.

Conclusión

La fórmula de sección es una herramienta fundamental en geometría de coordenadas que ayuda a encontrar el punto exacto a lo largo de una línea que la divide en proporciones especificadas. Ya sea interna o externamente, la fórmula proporciona un enfoque estructurado para resolver problemas de geometría relacionados con segmentos de línea. Practicando y aplicándola en diferentes escenarios, puedes mejorar tu comprensión y habilidades de resolución de problemas en geometría.


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