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निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र को समझना
गणित में, निर्देशांक ज्यामिति (जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी कहा जाता है) एक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके ज्यामिति का अध्ययन है। इस क्षेत्र में दूरी सूत्र एक महत्वपूर्ण पहलू है। यह सूत्र समन्वय विमान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करता है।
दूरी सूत्र का परिचय
दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न होता है। दो-आयामी विमान में, किसी भी दो बिंदुओं को निर्देशांक के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, मान लीजिए (x1, y1) और (x2, y2)। इन बिंदुओं के बीच की दूरी d निम्नलिखित दी गई है:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)दृश्य उदाहरण
आइए इसे एक आरेख के साथ चित्रित करें। मान लीजिए हमारे पास दो बिंदु, A और B हैं, जिनके निर्देशांक A(1, 2) और B(4, 6) हैं। हम उन्हें ग्रिड पर प्लॉट करके इन बिंदुओं के बीच की दूरी देख सकते हैं।
A(1, 2) और B(4, 6) के बीच की दूरी d दूरी सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5सूत्र की चरण-दर-चरण व्याख्या
चलो दूरी सूत्र को तोड़ें ताकि हम इसके प्रत्येक भाग को समझ सकें। सूत्र को इन भागों में विभाजित किया जा सकता है:
(x2 - x1): यह दो बिंदुओं के x-निर्देशांकों के अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। यह दर्शाता है कि बिंदु क्षैतिज रूप से कितने अलग हैं।(y2 - y1): यह y-निर्देशांकों में अंतर का प्रतिनिधित्व करता है, जो बिंदुओं के ऊर्ध्वाधर पृथक्करण को दर्शाता है।- इन मतभेदों में से प्रत्येक का वर्ग (
(x2 - x1)²और(y2 - y1)²) यह सुनिश्चित करता है कि मतभेद सकारात्मक हो जाएं और, वास्तव में, दिशाओं की परवाह किए बिना अलगाव समान हो जाएं। - क्लासेज को एक साथ जोड़ने से इन स्वतंत्र रूप से गणना की गई दूरियों को समग्र दूरी में संयुक्त रूप से योगदान करने की अनुमति मिलती है।
- वर्गमूल पाइथागोरस प्रमेय को पूरा करता है, और वर्गित इनपुट को दूरी के एक रेखीय माप में परिवर्तित करता है।
व्यावहारिक उदाहरण
उदाहरण 1
दो बिंदुओं C(3, 3) और D(7, 8) पर विचार करें। हमें इन बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने का कार्य दिया गया है।
d = √((7 - 3)² + (8 - 3)²) = √((4)² + (5)²) = √(16 + 25) = √41उदाहरण 2
एक और उदाहरण के रूप में, बिंदुओं E(-1, -1) और F(3, 3) के बीच की दूरी खोजें।
d = √((3 - (-1))² + (3 - (-1))²) = √((3 + 1)² + (3 + 1)²) = √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2अन्वेषणीय उदाहरण
चलो एक और स्थिति पर विचार करें। क्या होगा अगर दोनों बिंदु x-अक्ष या y- अक्ष पर हों?
उदाहरण 3
बिंदुओं G(0, 0) और H(0, 5) के बीच की दूरी का मूल्यांकन करें।
d = √((0 - 0)² + (5 - 0)²) = √(0 + 25) = √25 = 5एटाइमोलॉजी के माध्यम से समझना
जैसा कि पहले समझाया गया है, निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र अवधारणा रूप से पाइथागोरस प्रमेय से जुड़ा है: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (समकोण के विपरीत पक्ष) का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। कल्पना करें कि x-अक्ष और y-अक्ष एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाते हैं। इस मामले में, x-संयोग में अंतर से जुड़ा क्षैतिज खंड और y-संयोग में अंतर से जुड़ा ऊर्ध्वाधर खंड त्रिभुज की भुजाएँ बनाते हैं। हमारे दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा तब त्रिभुज की कर्ण की सेवा करेगी।
दृश्य आरेख
अपने आप को चुनौती देना
उदाहरण 4
बिंदुओं I(6, 7) और J(-2, 3) के बीच की दूरी निर्धारित करें।
d = √((-2 - 6)² + (3 - 7)²) = √((-8)² + (-4)²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5उदाहरण 5
अब, बिंदुओं K(-3, 5) और L(4, -1) के बारे में क्या?
d = √((4 - (-3))² + (-1 - 5)²) = √((4 + 3)² + (-6)²) = √(7² + 6²) = √(49 + 36) = √85वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
दूरी सूत्र सिर्फ एक अमूर्त गणितीय समीकरण नहीं है, बल्कि इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं। उदाहरण के लिए, नेविगेशन सिस्टम या मैपिंग सेवाओं में, इस सूत्र का अक्सर एक जगह से दूसरी जगह तक सबसे छोटा रास्ता खोजने के लिए उपयोग करना होता है। इसके अलावा, कंप्यूटर ग्राफिक्स, भौतिकी सिमुलेशन और यहां तक कि डेटा रुझानों का विश्लेषण करने जैसे क्षेत्रों में भी, बिंदुओं के बीच की दूरी को समझना मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकता है।
निष्कर्ष
अब तक, आपको दूरी सूत्र के बारे में पूरी तरह से समझ आ जाना चाहिए और यह निर्देशांक ज्यामिति में एक शक्तिशाली उपकरण के रूप में कैसे काम करता है। पाइथागोरस प्रमेय से अपने अर्थ का व्युत्पन्न करके, यह हमें विमान पर बिंदुओं के बीच अलगाव की गणना करने का एक व्यवस्थित तरीका देता है। चाहे गणित में उपयोग किया जाए या वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में लागू किया जाए, इस सूत्र में महारत हासिल करने से सिद्धांत और अभ्यास में असीम ज्यामितीय गणनाओं की खोज का मार्ग प्रशस्त होता है।
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