Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada


En matemáticas, la geometría coordenada (también llamada geometría analítica) es el estudio de la geometría usando un sistema de coordenadas. La fórmula de distancia es un aspecto importante de este campo. Esta fórmula calcula la distancia entre dos puntos en un plano coordinado.

Introducción a la fórmula de distancia

La fórmula de distancia se deriva del teorema de Pitágoras. En un plano bidimensional, cualquier par de puntos puede representarse como coordenadas, digamos (x1, y1) y (x2, y2). La distancia d entre estos puntos se da por:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Ejemplo visual

Vamos a ilustrar esto con un diagrama. Supongamos que tenemos dos puntos, A y B, con coordenadas A(1, 2) y B(4, 6). Podemos ver la distancia entre estos puntos al representarlos en una cuadrícula.

A(1,2) b(4,6)

La distancia d entre A(1, 2) y B(4, 6) se puede calcular usando la fórmula de distancia:

d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Explicación paso a paso de la fórmula

Vamos a desglosar la fórmula de distancia para entender cada parte de ella. La fórmula puede dividirse en estas partes:

  • (x2 - x1): Esto representa la diferencia en las coordenadas x de dos puntos. Muestra cuán separados están los puntos horizontalmente.
  • (y2 - y1): Esto representa la diferencia en las coordenadas y, lo que da la separación vertical de los puntos.
  • Elevar al cuadrado cada una de estas diferencias ((x2 - x1)² y (y2 - y1)²) asegura que las diferencias se vuelvan positivas y, en esencia, las separaciones se vuelvan iguales independientemente de la dirección.
  • Sumar las clases juntas permite que estas distancias calculadas independientemente contribuyan conjuntamente a la distancia total.
  • La raíz cuadrada satisface el teorema de Pitágoras y convierte la entrada al cuadrado en una medida lineal de distancia.

Ejemplo práctico

Ejemplo 1

Consideremos dos puntos C(3, 3) y D(7, 8). Se nos da la tarea de encontrar la distancia entre estos puntos.

d = √((7 - 3)² + (8 - 3)²) = √((4)² + (5)²) = √(16 + 25) = √41

Ejemplo 2

Como otro ejemplo, encuentra la distancia entre los puntos E(-1, -1) y F(3, 3).

d = √((3 - (-1))² + (3 - (-1))²) = √((3 + 1)² + (3 + 1)²) = √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Ejemplos explorables

Consideremos otra situación. ¿Qué pasa si ambos puntos están en el eje x o en el eje y?

Ejemplo 3

Evalúa la distancia entre los puntos G(0, 0) y H(0, 5).

d = √((0 - 0)² + (5 - 0)²) = √(0 + 25) = √25 = 5

Comprensión a través de la etimología

Como se explicó antes, la fórmula de distancia en geometría coordenada está conceptualmente conectada con el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Imagina un escenario en el que el eje x y el eje y forman las piernas de un triángulo rectángulo. En este caso, el segmento horizontal asociado con la diferencia en la coordenada x y el segmento vertical asociado con la diferencia en la coordenada y forman las patas del triángulo. La línea que conecta nuestros dos puntos serviría entonces como la hipotenusa del triángulo.

Diagrama visual

(x1, y1) (x2, y2)

Pon a prueba tus conocimientos

Ejemplo 4

Determina la distancia entre los puntos I(6, 7) y J(-2, 3).

d = √((-2 - 6)² + (3 - 7)²) = √((-8)² + (-4)²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5

Ejemplo 5

Ahora, ¿qué pasa con los puntos K(-3, 5) y L(4, -1)?

d = √((4 - (-3))² + (-1 - 5)²) = √((4 + 3)² + (-6)²) = √(7² + 6²) = √(49 + 36) = √85

Aplicaciones en la vida real

La fórmula de distancia no es solo una ecuación matemática abstracta, sino que tiene aplicaciones prácticas en la vida real. Por ejemplo, en sistemas de navegación o servicios de mapeo, esta fórmula a menudo se utiliza para encontrar el camino más corto de un lugar a otro. Además, en campos como gráficos por computadora, simulaciones físicas e incluso análisis de tendencias de datos, comprender la distancia entre puntos puede proporcionar información valiosa.

Conclusión

Ahora deberías tener una comprensión completa de la fórmula de distancia y cómo sirve como una herramienta poderosa en la geometría coordenada. Al derivar su significado del teorema de Pitágoras, nos proporciona una forma sistemática de calcular la separación entre puntos en un plano. Ya sea utilizada en matemáticas o aplicada en escenarios del mundo real, dominar esta fórmula abre el camino para la exploración en innumerables cálculos geométricos tanto en teoría como en práctica.


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