Картезианская система

Картезианская система - это фундаментальное понятие в координатной геометрии. Она была разработана французским математиком Рене Декартом в XVII веке и произвела революцию в математике, введя способ описания положения точек на плоскости с помощью числовых координат. Эта система позволяет представлять геометрические фигуры алгебраически и решать геометрические задачи численно. В этом объяснении мы рассмотрим размеры картезианской системы, как интерпретировать графики на картезианской плоскости, как строить точки и многое другое.

Понимание основ

Картезианская система использует две перпендикулярные линии, называемые осями, для разделения плоскости на четыре области. Эти оси обычно обозначаются как ось x (горизонтальная) и ось y (вертикальная). Точка, где эти две оси пересекаются, известна как начало координат, обычно обозначаемое как (0, 0).

Ось и кватерны

Линии, образующие оси, делят плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Они пронумерованы против часовой стрелки:

• Первый квадрант: Оба x и y координаты положительные (верхний правый угол).
• Второй квадрант: x отрицательный, y положительный (верхний левый угол).
• Третий квадрант: Оба x и y координаты отрицательные (нижний левый угол).
• Четвертый квадрант: x положительный, y отрицательный (нижний правый угол).

Построение точек на картезианской плоскости

Каждая точка на картезианской плоскости может быть идентифицирована упорядоченной парой (x, y), где x - значение на оси x, а y - значение на оси y. Давайте построим несколько точек, чтобы понять, как это работает.

На приведенной выше фигуре показаны четыре точки, отмеченные на картезианской плоскости:

• Красная точка (4, 4) находится в первом квадранте.
• Зеленая точка (-4, 4) находится во втором квадранте.
• Синяя точка (-4, -4) находится в третьем квадранте.
• Фиолетовая точка (4, -4) находится в четвертом квадранте.

Расстояние между двумя точками

Чтобы найти расстояние между двумя точками на картезианской плоскости, можно использовать формулу расстояния. Если у вас есть две точки P(x1, y1) и Q(x2, y2), то расстояние d между ними вычисляется по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Давайте применим эту формулу, чтобы найти расстояние между точками (4, 4) и (-4, 4) из нашего предыдущего примера:

(x1, y1) = (4, 4) (x2, y2) = (-4, 4) d = √((-4 - 4)² + (4 - 4)²) d = √((-8)² + (0)²) d = √(64 + 0) d = √64 d = 8

Следовательно, расстояние между этими двумя точками равно 8 единиц.

Формула средней точки

Средняя точка отрезка - это точка, которая делит отрезок на две равные части. Средняя точка M отрезка, соединяющего две точки P(x1, y1) и Q(x2, y2), может быть найдена с помощью формулы средней точки:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Найдем среднюю точку между точками (4, 4) и (-4, 4):

M = ((4 + (-4))/2, (4 + 4)/2) M = (0/2, 8/2) M = (0, 4)

Таким образом, средняя точка находится в (0, 4).

Уклон линии

Наклон линии - это мера ее крутизны. На картезианской плоскости наклон m между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) рассчитывается следующим образом:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Эта формула получается путем деления изменения значений y на изменение значений x, также известного как "подъем на бег". Используя точки (4, 4) и (-4, 4), вычислим наклон:

m = (4 - 4) / (-4 - 4) m = 0 / -8 m = 0

Этот результат указывает на то, что линия является горизонтальной.

Уравнения линий

Форма с угловым коэффициентом

Обычный способ выражения линейных уравнений в картезианской системе - это форма с угловым коэффициентом:

y = mx + b

где m - это наклон, а b - y-перехват (точка, в которой линия пересекает ось y).

Форма с точкой и углом наклона

Вторая форма - это форма точки и угла наклона, которая полезна, когда вы знаете наклон и конкретную точку на линии:

y - y1 = m(x - x1)

Здесь (x1, y1) - известная точка на линии, а m - наклон.

Общая форма

Линейное уравнение также можно записать в общей форме:

Ax + By + C = 0

Эта форма представляет линию для любых значений A, B и C, при условии, что все они не равны нулю.

Применение

Картезианская система имеет множество применений в различных областях. Она в значительной степени способствует таким областям, как физика, инженерия, компьютерная графика, навигация и многие другие, предоставляя систематический подход к пониманию пространства и алгебраическому взгляду на задачи. Она позволяет строить и интерпретировать графики и полезна для визуального решения уравнений.

Примеры и упражнения

Чтобы укрепить понимание, рассмотрим несколько практических примеров точек, линий и уравнений на картезианской плоскости.

Пример 1: Нахождение уравнения линии

Даны точки (2, 3) и (4, 7), найдите уравнение линии, проходящей через эти точки.

Сначала используйте формулу наклона:

m = (7 - 3) / (4 - 2) m = 4 / 2 m = 2

Теперь используйте формулу точки и наклона с точкой (2, 3):

y - 3 = 2(x - 2) y - 3 = 2x - 4 y = 2x - 1

Уравнение линии: y = 2x - 1.

Пример 2: Определение точек на линии

Проверьте, лежит ли точка (1, 1) на линии y = 2x - 1.

Подставьте x = 1 в уравнение:

y = 2(1) - 1 y = 2 - 1 y = 1

Поскольку y = 1 соответствует y-координате точки, (1, 1) находится на линии.

Заключение

Картезианская система является незаменимым инструментом в математике, предоставляющим рамки для перевода геометрических задач в алгебраический контекст. Овладение этой системой является основой для дальнейшего изучения математики и ее применения в реальных задачах.

комментарии