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कार्टेशियन प्रणाली
कार्टेशियन प्रणाली निर्देशांक ज्यामिति की एक मौलिक अवधारणा है। इसे 17वीं शताब्दी में फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस द्वारा विकसित किया गया था और इसने अंक संख्यात्मक निर्देशांकों के माध्यम से समतल में बिंदुओं की स्थिति का वर्णन करने की एक विधि प्रस्तुत करके गणित में क्रांति ला दी थी। इस प्रणाली के माध्यम से हम ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय रूप में दर्शा सकते हैं और ज्यामितीय समस्याओं को संख्यात्मक रूप से हल कर सकते हैं। इस व्याख्या में, हम कार्टेशियन प्रणाली के आयामों की जांच करेंगे, कार्टेशियन समतल पर ग्राफ की व्याख्या कैसे करें, बिंदुओं को प्लॉट कैसे करें, और भी बहुत कुछ।
मूल बातें समझना
कार्टेशियन प्रणाली दो लंबवत रेखाओं का उपयोग करती है जिन्हें अक्ष कहा जाता है, जो एक समतल को चार क्षेत्रों में विभाजित करते हैं। इन अक्षों को आमतौर पर x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (लंबवत) के रूप में लेबल किया जाता है। जिस बिंदु पर ये दो अक्ष मिलते हैं उसे मूल कहा जाता है, जिसे आमतौर पर (0, 0) के रूप में दर्शाया जाता है।
अक्ष और चतुर्भुज
अक्षों द्वारा बनाई गई रेखाएँ समतल को चार भागों में विभाजित करती हैं, जिन्हें चतुर्थांश कहा जाता है। इन्हें उल्टे क्रम में गिना जाता है:
- चतुर्थांश I: दोनों
xऔरyनिर्देशांक धनात्मक होते हैं (ऊपरी दाहिना)। - चतुर्थांश II:
xनकारात्मक होता है,yधनात्मक होता है (ऊपरी बाएं)। - चतुर्थांश III: दोनों
xऔरyनिर्देशांक नकारात्मक होते हैं (निचले बाएं)। - चतुर्थ चतुर्थांश:
xधनात्मक होता है,yनकारात्मक होता है (निचले दाएं)।
कार्टेशियन समतल पर बिंदु अंकित करना
कार्टेशियन समतल पर प्रत्येक बिंदु को एक क्रमबद्ध जोड़ी (x, y) द्वारा पहचाना जा सकता है, जहां x x-अक्ष पर मान है, और y y-अक्ष पर मान है। आइए बिंदुओं का चिह्नांकन करें कि यह कैसे काम करता है।
उपरोक्त चित्र में चार बिंदु कार्टेशियन समतल पर चिह्नित किए गए हैं:
- लाल बिंदु
(4, 4)चतुर्थांश I में है। - हरा बिंदु
(-4, 4)चतुर्थांश II में है। - नीला बिंदु
(-4, -4)चतुर्थांश III में है। - बैंगनी बिंदु
(4, -4)चौथे चतुर्थांश में है।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी
कार्टेशियन समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए, आप दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि आपके पास दो बिंदु P(x1, y1) और Q(x2, y2) हैं, तो उनके बीच की दूरी d इस प्रकार होती है:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)आइए हमारे पिछले उदाहरण से बिंदुओं (4, 4) और (-4, 4) के बीच की दूरी खोजें:
(x1, y1) = (4, 4) (x2, y2) = (-4, 4) d = √((-4 - 4)² + (4 - 4)²) d = √((-8)² + (0)²) d = √(64 + 0) d = √64 d = 8इसलिए, इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी 8 इकाई है।
मध्य बिंदु सूत्र
एक रेखा खंड का मध्य बिंदु वह बिंदु होता है जो खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। दो बिंदुओं P(x1, y1) और Q(x2, y2) को जोड़ने वाले खंड के मध्य बिंदु M को मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करके खोजा जा सकता है:
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)आइए बिंदुओं (4, 4) और (-4, 4) के बीच का मध्य बिंदु खोजें:
M = ((4 + (-4))/2, (4 + 4)/2) M = (0/2, 8/2) M = (0, 4)इस प्रकार, मध्य बिंदु (0, 4) पर है।
रेखा की ढलान
रेखा की ढलान उसकी ढलान का माप होता है। कार्टेशियन समतल में, दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की ढलान m की गणना इस प्रकार की जाती है:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)यह सूत्र 'उतरने के बदलाव पर उठने के बदलाव' के रूप में जाना जाता है। बिंदुओं (4, 4) और (-4, 4) का उपयोग करके चलिए ढलान ज्ञात करें:
m = (4 - 4) / (-4 - 4) m = 0 / -8 m = 0यह परिणाम दर्शाता है कि रेखा क्षैतिज है।
रेखाओं के समीकरण
ढलान-अवरोधक रूप
कार्टेशियन प्रणाली में रैखिक समीकरणों को अभिव्यक्त करने का एक सामान्य तरीका ढलान-अवरोधक रूप में है:
y = mx + bजहां m ढलान है और b y-अवरोधक है (वह बिंदु जहां रेखा y-अक्ष को क्रॉस करती है)।
बिंदु-ढलान रूप
दूसरा रूप बिंदु-ढलान रूप है, जो तब उपयोगी होता है जब आपको रेखा पर किसी विशेष बिंदु और ढलान की जानकारी हो:
y - y1 = m(x - x1)यहां, (x1, y1) रेखा पर ज्ञात बिंदु है और m ढलान है।
सामान्य रूप
एक रैखिक समीकरण को सामान्य रूप में भी लिखा जा सकता है:
Ax + By + C = 0यह रूप A, B, और C के किसी भी मूल्यों के लिए एक रेखा का प्रतिनिधित्व करता है, बशर्ते कि सभी शून्य न हों।
अनुप्रयोग
कार्टेशियन प्रणाली विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोगों में योगदान देती है। यह भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स, नेविगेशन और बहुत कुछ में स्थान को समझने और समस्याओं को बीजगणितीय रूप से देखने के लिए एक सुनियोजित दृष्टिकोण प्रदान करके महान योगदान देती है। यह ग्राफ को प्लॉट और व्याख्या करने की अनुमति देती है और समीकरणों को दृश्यमान रूप से हल करने में सहायक होती है।
उदाहरण और अभ्यास
समझ को और मजबूत बनाने के लिए आइए कार्टेशियन समतल में बिंदुओं, रेखाओं, और समीकरणों के कुछ व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 1: रेखा के समीकरण का पता लगाना
दिए गए बिंदु (2, 3) और (4, 7), इन बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
पहले, ढलान सूत्र का उपयोग करें:
m = (7 - 3) / (4 - 2) m = 4 / 2 m = 2अब, बिंदु-ढलान सूत्र का उपयोग करें, बिंदु (2, 3) के साथ:
y - 3 = 2(x - 2) y - 3 = 2x - 4 y = 2x - 1रेखा का समीकरण y = 2x - 1 है।
उदाहरण 2: रेखा पर बिंदुओं की पहचान करना
जांचें कि क्या बिंदु (1, 1) रेखा y = 2x - 1 पर स्थित है।
समीकरण में x = 1 को प्रतिस्थापित करें:
y = 2(1) - 1 y = 2 - 1 y = 1चूंकि y = 1 बिंदु के y-निर्देशांक के संगत है, (1, 1) रेखा पर स्थित है।
निष्कर्ष
कार्टेशियन प्रणाली गणित में एक अत्यधिक उपयोगी उपकरण है, जो ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणितीय संदर्भों में अनुवाद करने के लिए एक ढांचा प्रदान करती है। इस प्रणाली में महारत हासिल करना गणित में आगे की पढाई और इसके वास्तविक जीवन के संदर्भों में अनुप्रयोगों के लिए मौलिक है।
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