Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Sistema cartesiano


El sistema cartesiano es un concepto fundamental en la geometría de coordenadas. Fue desarrollado por el matemático francés René Descartes en el siglo XVII y revolucionó las matemáticas al introducir una forma de describir la posición de los puntos en el plano mediante coordenadas numéricas. Este sistema nos permite representar formas geométricas algebraicamente y resolver problemas geométricos numéricamente. En esta explicación, exploraremos las dimensiones del sistema cartesiano, cómo interpretar gráficos en el plano cartesiano, cómo trazar puntos y más.

Entendiendo lo básico

El sistema cartesiano utiliza dos líneas perpendiculares llamadas ejes para dividir un plano en cuatro regiones. Estos ejes se etiquetan típicamente como el eje x (horizontal) y el eje y (vertical). El punto donde estos dos ejes se intersectan se conoce como el origen, generalmente representado como (0, 0).

Eje y cuaterniones

Y X (0,0)

Las líneas que forman el eje dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes. Están numeradas en el sentido contrario a las agujas del reloj:

  • Cuadrante I: ambas coordenadas x e y son positivas (arriba a la derecha).
  • Cuadrante II: x es negativo, y es positivo (arriba a la izquierda).
  • Cuadrante III: ambas coordenadas x e y son negativas (abajo a la izquierda).
  • Cuarto cuadrante: x es positivo, y es negativo (abajo a la derecha).

Trazando puntos en el plano cartesiano

Cada punto en el plano cartesiano puede identificarse mediante un par ordenado (x, y), donde x es el valor en el eje x, y y es el valor en el eje y. Vamos a trazar algunos puntos para ver cómo funciona esto.

(4, 4) (-4, 4) (-4, -4) (4, -4)

La figura anterior muestra cuatro puntos marcados en el plano cartesiano:

  • El punto rojo (4, 4) está en el cuadrante I.
  • El punto verde (-4, 4) está en el cuadrante II.
  • El punto azul (-4, -4) está en el cuadrante III.
  • El punto púrpura (4, -4) está en el cuarto cuadrante.

Distancia entre dos puntos

Para encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, puedes usar la fórmula de la distancia. Si tienes dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), la distancia d entre ellos se da por:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Vamos a aplicar esta fórmula para encontrar la distancia entre los puntos (4, 4) y (-4, 4) de nuestro ejemplo anterior:

(x1, y1) = (4, 4) (x2, y2) = (-4, 4) d = √((-4 - 4)² + (4 - 4)²) d = √((-8)² + (0)²) d = √(64 + 0) d = √64 d = 8

Por lo tanto, la distancia entre estos dos puntos es de 8 unidades.

Fórmula del punto medio

El punto medio de un segmento de línea es el punto que divide el segmento en dos partes iguales. El punto medio M del segmento que une dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) se puede encontrar utilizando la fórmula del punto medio:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Vamos a encontrar el punto medio entre los puntos (4, 4) y (-4, 4):

M = ((4 + (-4))/2, (4 + 4)/2) M = (0/2, 8/2) M = (0, 4)

Así, el punto medio está en (0, 4).

Pendiente de la línea

La pendiente de una línea es una medida de su inclinación. En el plano cartesiano, la pendiente m entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se calcula de la siguiente manera:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Esta fórmula se deriva dividiendo el cambio en los valores de y por el cambio en los valores de x, también conocido como 'recorrido entre elevación'. Usando los puntos (4, 4) y (-4, 4), calculemos la pendiente:

m = (4 - 4) / (-4 - 4) m = 0 / -8 m = 0

Este resultado indica que la línea es horizontal.

Ecuaciones de líneas

Forma de intersección con el eje

Una forma común de expresar ecuaciones lineales en un sistema cartesiano es en forma de intersección con el eje:

y = mx + b

donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y (el punto donde la línea intersecta el eje y).

Forma punto-pendiente

La segunda forma es la forma punto-pendiente, que es útil cuando conoces la pendiente y un punto particular en la línea:

y - y1 = m(x - x1)

Aquí, (x1, y1) es un punto conocido en la línea y m es la pendiente.

Forma general

Una ecuación lineal también se puede escribir en forma general:

Ax + By + C = 0

Esta forma representa una línea para cualquier valor de A, B y C, siempre que todos no sean cero.

Aplicación

El sistema cartesiano tiene muchas aplicaciones en varios campos. Contribuye enormemente a campos como la física, la ingeniería, los gráficos por computadora, la navegación y mucho más al proporcionar un enfoque sistemático para entender el espacio y mirar problemas de manera algebraica. Permite graficar e interpretar gráficos y es útil para resolver ecuaciones visualmente.

Ejemplos y ejercicios

Para fortalecer aún más la comprensión, consideremos algunos ejemplos prácticos de puntos, líneas y ecuaciones en el plano cartesiano.

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de una línea

Dado los puntos (2, 3) y (4, 7), encuentra la ecuación de la línea que pasa por estos puntos.

Primero, utiliza la fórmula de la pendiente:

m = (7 - 3) / (4 - 2) m = 4 / 2 m = 2

Ahora, usa la fórmula de punto-pendiente con el punto (2, 3):

y - 3 = 2(x - 2) y - 3 = 2x - 4 y = 2x - 1

La ecuación de la línea es y = 2x - 1.

Ejemplo 2: Identificar puntos en una línea

Verifica si el punto (1, 1) se encuentra en la línea y = 2x - 1.

Sustituye x = 1 en la ecuación:

y = 2(1) - 1 y = 2 - 1 y = 1

Dado que y = 1 corresponde a la coordenada y del punto, (1, 1) está en la línea.

Conclusión

El sistema cartesiano es una herramienta indispensable en las matemáticas, proporcionando un marco para traducir problemas geométricos en contextos algebraicos. Dominar este sistema es fundamental para el estudio posterior en matemáticas y sus aplicaciones en contextos del mundo real.


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