Многочлены

Многочлены — это важная часть математики, с которой вы часто сталкиваетесь в алгебре. Понимание многочленов важно, потому что они составляют основу уравнений, которые вы решаете в математике, физике, инженерии и даже компьютерной науке.

Что такое многочлены?

Многочлен — это математическое выражение, состоящее из суммы степеней в одной или нескольких переменных, умноженных на коэффициенты. Слово "многочлен" происходит от греческих слов "поли" (означает "много") и "номия" (означает "часть"), так что оно в основном означает "много частей".

Простой вариант многочлена в одной переменной, обычно x, записывается так:

 a n *x n + a n-1 *x n-1 + ... + a 2 *x 2 + a 1 *x + a 0

Где:

• a n, a n-1, ..., a 0 — константы, называемые коэффициентами.
• n — это наивысшая степень, называемая степенью многочлена.
• x — переменная.

Понимание многочленов через примеры

Пример 1: Простой многочлен

Рассмотрим многочлен:

 2x 3 + 4x 2 - x + 7

Этот многочлен имеет:

• Степень 3 (из-за терма 2x 3).
• Коэффициенты: 2, 4, -1 и 7.
• Четыре терма.

Пример 2: Другой многочлен

Рассмотрим другой многочлен:

 5y 4 - 3y 2 + 2

Мы имеем здесь:

• Степень 4 (из-за терма 5y 4).
• Коэффициенты: 5, 0, -3 и 2.
• Три терма (хотя терм y 3 отсутствует, он присутствует с коэффициентом 0).

Визуальное представление многочленов

Давайте попробуем визуализировать многочлен 2x 2 + 3x + 1.

Объяснение: В этом SVG представлении каждая красная точка представляет значение многочлена для заданной x-координаты. Указанные точки (1,6), (2,11) и (3,22) показывают, как полином растет с увеличением x.

Типы многочленов

Многочлены могут быть классифицированы в зависимости от количества термов:

• Одночлен: Многочлен с одним термом. Пример: 4x 3
• Двучлен: Многочлен с двумя термами. Пример: 3x + 2
• Трехчлен: Многочлен с тремя термами. Пример: x 2 + 5x + 6

Операции с многочленами

Сложение многочленов

Чтобы сложить многочлены, вы объединяете подобные термы. Подобные термы — это термы, имеющие одну и ту же переменную в одной и той же степени.

Пример: Сложите многочлены 2x 2 + 3x + 4 и x 2 - 2x + 5.

(2x 2 + 3x + 4) + (x 2 - 2x + 5) = (2x 2 + x 2) + (3x - 2x) + (4 + 5) = 3x 2 + x + 9

Вычитание многочленов

Вычитание многочленов — это то же самое, что и их сложение, за исключением того, что вы вычитаете коэффициенты подобных термов.

Пример: Вычтите многочлен x 2 + 4x - 2 из 3x 2 - x + 5.

(3x 2 - x + 5) - (x 2 + 4x - 2) = (3x 2 - x 2) + (-x - 4x) + (5 + 2) = 2x 2 - 5x + 7

Умножение многочленов

Чтобы умножить многочлены, используйте распределительное свойство, чтобы убедиться, что каждый терм в первом многочлене умножается на каждый терм во втором многочлене.

Пример: Умножьте (x + 2) на (x - 3).

(x + 2)(x - 3) = x(x) + x(-3) + 2(x) + 2(-3) = x 2 - 3x + 2x - 6 = x 2 - x - 6

Деление многочленов

Деление многочленов можно выполнять с помощью либо длинного деления, либо синтетического деления. Чтобы остаться кратким и ясным, мы обсудим простое длинное деление.

Пример: Разделите 2x 2 + 3x + 4 на x + 1.

 _________
x + 1 | 2x 2 + 3x + 4
       - (2x 2 + 2x)
          -----------------
             x + 4
            -(x + 1)
          -----------------
                3

Результат — 2x + 1, а остаток — 3.

Теорема об остатке и теорема о множителе

Теорема об остатке

Теорема об остатке говорит, что если вы делите многочлен f(x) на (x - a), остаток равен f(a).

Пример: Найдите остаток при делении f(x) = 2x 3 + 3x 2 - 5x + 4 на x - 2.

f(x) = 2x 3 + 3x 2 - 5x + 4
f(2) = 2(2) 3 + 3(2) 2 - 5(2) + 4 = 16 + 12 - 10 + 4 = 22

Следовательно, остаток равен 22.

Теорема о множителе

Теорема о множителе является расширением теоремы об остатке. Она утверждает, что (x - a) является множителем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(a) = 0.

Пример: Проверьте, является ли x - 3 множителем x 3 - 6x 2 + 11x - 6.

f(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 6
f(3) = 3 3 - 6(3) 2 + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0

Поскольку f(3) = 0, x - 3 является множителем.

Построение графиков многочленов

Построение графиков многочленов предоставляет визуальное представление функции и ее решений. Степень многочлена определяет, сколько возможных поворотов может быть на графике.

График квадратичного многочлена

Квадратичный многочлен формы ax 2 + bx + c отображается в виде кривой, называемой параболой. Направление параболы зависит от знака ведущего коэффициента a.

Рассмотрим многочлен f(x) = x 2 - 4x + 3.

Этот график представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Вершина параболы находиться в точке, где парабола поворачивается.

График кубического многочлена

Кубические многочлены вида ax 3 + bx 2 + cx + d могут иметь графики в форме буквы S. Они могут иметь одну или две точки поворота в зависимости от коэффициентов.

Рассмотрим многочлен f(x) = x 3 - 3x 2 - x + 3.

График имеет S-образную форму, показывая типичное поведение кубического многочлена.

Важность многочленов

Понимание многочленов не ограничивается решением математических задач на бумаге. Многочлены широко используются в различных областях, таких как экономика, физика, инженерия, компьютерная графика и статистика. Они используются для моделирования сценариев, где объекты имеют изменения скоростей, предоставляют кривые для компьютерной графики, описывают траектории объектов в физике и многое другое.

Заключение

Многочлены — это важное понятие в математике, применение которого выходит далеко за пределы классной комнаты. Понимание основ многочленов, включая операции, теоремы и построение графиков, дает вам навыки для решения и понимания более сложных математических задач. Умение манипулировать и понимать многочлены позволяет использовать мощный набор инструментов для академического и реального решения задач.

комментарии