Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Polinomios


Los polinomios son una parte esencial de las matemáticas que encontrarás a menudo en álgebra. Entender los polinomios es importante porque forman la base de las ecuaciones que resuelves en matemáticas, física, ingeniería e incluso en informática.

¿Qué son los polinomios?

Un polinomio es una expresión matemática que consta de una suma de potencias en una o más variables multiplicadas por coeficientes. La palabra "polinomio" proviene de las palabras griegas "poly" (que significa "muchos") y "nomial" (que significa "término"), por lo que básicamente significa "muchos términos".

Una variante simple de un polinomio en una variable, usualmente x, se escribe así:

 a n *x n + a n-1 *x n-1 + ... + a 2 *x 2 + a 1 *x + a 0

Donde:

  • a n, a n-1, ..., a 0 son constantes llamadas coeficientes.
  • n es la potencia más alta, llamada el grado del polinomio.
  • x es la variable.

Entender los polinomios a través de ejemplos

Ejemplo 1: Un polinomio simple

Considera el polinomio:

 2x 3 + 4x 2 - x + 7

Este polinomio tiene:

  • Grado de 3 (debido al término 2x 3).
  • Los coeficientes son 2, 4, -1 y 7.
  • Cuatro términos.

Ejemplo 2: Otro polinomio

Consideremos otro polinomio:

 5y 4 - 3y 2 + 2

Estamos aquí:

  • El grado de 4 (del término 5y 4).
  • Los coeficientes son 5, 0, -3 y 2.
  • Tres términos (aunque el término y 3 falta, está presente con coeficiente 0).

Representación visual de los polinomios

Intentemos visualizar el polinomio 2x 2 + 3x + 1.

(1,6) (2,11) (3,22)

Explicación: En esta representación SVG, cada círculo rojo representa el valor del polinomio para una coordenada x dada. Los puntos representados son (1,6), (2,11) y (3,22), que muestran cómo crece el polinomio a medida que aumenta x.

Tipos de polinomios

Los polinomios pueden clasificarse según el número de términos que tienen:

  • Monomio: Un polinomio con un solo término. Ejemplo: 4x 3
  • Binomio: Un polinomio con dos términos. Ejemplo: 3x + 2
  • Trinomio: Un polinomio con tres términos. Ejemplo: x 2 + 5x + 6

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar polinomios, combinas términos semejantes. Los términos semejantes son términos que tienen la misma variable elevada al mismo poder.

Ejemplo: Suma los polinomios 2x 2 + 3x + 4 y x 2 - 2x + 5.

(2x 2 + 3x + 4) + (x 2 - 2x + 5) = (2x 2 + x 2) + (3x - 2x) + (4 + 5) = 3x 2 + x + 9

Resta de polinomios

Restar polinomios es lo mismo que sumarlos, excepto que restas los coeficientes de los términos semejantes.

Ejemplo: Resta el polinomio x 2 + 4x - 2 de 3x 2 - x + 5.

(3x 2 - x + 5) - (x 2 + 4x - 2) = (3x 2 - x 2) + (-x - 4x) + (5 + 2) = 2x 2 - 5x + 7

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios, utiliza la propiedad distributiva para asegurarte de que cada término del primer polinomio multiplique cada término del segundo polinomio.

Ejemplo: Multiplica (x + 2) por (x - 3).

(x + 2)(x - 3) = x(x) + x(-3) + 2(x) + 2(-3) = x 2 - 3x + 2x - 6 = x 2 - x - 6

División de polinomios

La división de polinomios se puede hacer usando la división larga o la división sintética. Para ser breves y claros, discutiremos una simple división larga.

Ejemplo: Divide 2x 2 + 3x + 4 entre x + 1.

 _________
x + 1 | 2x 2 + 3x + 4
       - (2x 2 + 2x)
          -----------------
             x + 4
            -(x + 1)
          -----------------
                3

El resultado es 2x + 1 y el residuo es 3.

Teorema del resto y teorema del factor

Teorema del resto

El teorema del resto dice que si divides el polinomio f(x) por (x - a), el resto es f(a).

Ejemplo: Encuentra el resto al dividir f(x) = 2x 3 + 3x 2 - 5x + 4 por x - 2.

f(x) = 2x 3 + 3x 2 - 5x + 4
f(2) = 2(2) 3 + 3(2) 2 - 5(2) + 4 = 16 + 12 - 10 + 4 = 22

Por lo tanto, el resto es 22.

Teorema del factor

El teorema del factor es una extensión del teorema del resto. Afirma que (x - a) es un factor de un polinomio f(x) si y solo si f(a) = 0.

Ejemplo: Verifica si x - 3 es un factor de x 3 - 6x 2 + 11x - 6.

f(x) = x 3 - 6x 2 + 11x - 6
f(3) = 3 3 - 6(3) 2 + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0

Ya que f(3) = 0, x - 3 es realmente un factor.

Graficar los polinomios

Graficar los polinomios proporciona una representación visual de la función y sus soluciones. El grado del polinomio determina cuántos giros posibles puede tener el gráfico.

Gráfico de un polinomio cuadrático

Un polinomio cuadrático de la forma ax 2 + bx + c se representa como una curva llamada parábola. La dirección de la parábola depende del signo del coeficiente principal a.

Considera el polinomio f(x) = x 2 - 4x + 3.

f(x)=x^2-4x+3

Este gráfico es una parábola que se abre hacia arriba. El vértice de la parábola está en el punto donde la parábola gira.

Gráfico de un polinomio cúbico

Los polinomios cúbicos de la forma ax 3 + bx 2 + cx + d pueden tener gráficos en forma de S. Pueden tener uno o dos puntos de giro, dependiendo de los coeficientes.

Considera el polinomio f(x) = x 3 - 3x 2 - x + 3.

f(x)=x^3 - 3x^2 - x + 3

El gráfico tiene una forma de S, mostrando el comportamiento típico de un polinomio cúbico.

Importancia de los polinomios

Entender los polinomios no se limita solo a resolver problemas matemáticos en papel. Los polinomios se utilizan ampliamente en varios campos como economía, física, ingeniería, gráficos por computadora y estadística. Se utilizan para modelar escenarios donde las entidades tienen cambios en las tasas, proporcionan curvas para gráficos por computadora, describen las trayectorias de los objetos en física y mucho más.

Conclusión

Los polinomios son un concepto importante en matemáticas cuyas aplicaciones se extienden mucho más allá del aula. Comprender los fundamentos de los polinomios, incluidas las operaciones, los teoremas y la graficación, te proporciona las habilidades para resolver y entender problemas matemáticos más complejos. Al ser capaz de manipular y entender los polinomios, desbloqueas un conjunto de herramientas poderosas tanto para la resolución de problemas académicos como del mundo real.


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