9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

9º ano → Polinômios ↓


Entendendo identidades algébricas


Identidades algébricas são equações que são verdadeiras para todos os valores das variáveis dentro delas. Elas servem como atalhos úteis ao trabalhar com polinômios. Polinômios são expressões matemáticas que contêm variáveis e coeficientes, que são combinados usando adição, subtração, multiplicação e expoentes inteiros não negativos.

Essas identidades nos ajudam a simplificar expressões polinomiais, resolver equações e realizar cálculos mais rapidamente sem ter que multiplicar ou expandir manualmente as expressões cada vez.

Identidades algébricas básicas

Vamos examinar algumas das identidades algébricas fundamentais mais comuns na Matemática do 9º ano:

  • Quadrado da soma:

A identidade do quadrado da soma afirma:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Exemplo visual:

A² B² Agora Agora (a+b)²

Nesta identidade, a e b são variáveis ou constantes, e seus quadrados a² e b² são representados por pequenos quadrados, enquanto 2ab é representado por dois retângulos.

Cálculo de exemplo:

(5 + 3) 2 = 5 2 + 2 * 5 * 3 + 3 2 = 25 + 30 + 9 = 64
  • Quadrado da diferença:

Semelhante ao quadrado de uma soma, também temos o quadrado de uma diferença:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Cálculo de exemplo:

(7 - 2) 2 = 7 2 - 2 * 7 * 2 + 2 2 = 49 - 28 + 4 = 25
  • Produto da soma e diferença:

Esta identidade é útil para multiplicar polinômios da forma soma e diferença:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

Isso implica que o produto da soma e a diferença dos mesmos dois termos é a diferença dos quadrados.

Cálculo de exemplo:

(8 + 3)(8 - 3) = 8 2 - 3 2 = 64 - 9 = 55

Identidades algébricas mais avançadas

Embora as seguintes identidades em operações polinomiais básicas sejam menos comuns, elas ainda são muito úteis:

  • Cubo da soma:

O cubo de uma quantidade é expresso como:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Cálculo de exemplo:

(2 + 4) 3 = 2 3 + 3 * 2 2 * 4 + 3 * 2 * 4 2 + 4 3 = 8 + 48 + 96 + 64 = 216
  • Cubo da diferença:

O cubo da diferença é desenhado da seguinte forma:

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Cálculo de exemplo:

(5 - 3) 3 = 5 3 - 3 * 5 2 * 3 + 3 * 5 * 3 2 - 3 3 = 125 - 75 + 45 - 27 = 68
  • Soma ou diferença de cubos:

As identidades para a soma e diferença de cubos são dadas como segue:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 )

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )

Exemplo de cálculo da soma dos cubos:

4 3 + 2 3 = (4 + 2)(4 2 - 4*2 + 2 2 ) = 6(16 - 8 + 4) = 6 * 12 = 72

Cálculo de exemplo para diferença de cubos:

5 3 - 3 3 = (5 - 3)(5 2 + 5*3 + 3 2 ) = 2(25 + 15 + 9) = 2 * 49 = 98

Aplicações de identidades algébricas

As identidades algébricas simplificam o processo de expansão de polinômios e resolução de equações. Ao lidar com números grandes ou expressões complexas, essas identidades reduzem o tempo e o esforço dos cálculos.

Considere o polinômio x² + 6x + 9 Reconhecendo-o como um quadrado perfeito, podemos imediatamente escrevê-lo como (x + 3)² em vez de multiplicá-lo manualmente.

Por exemplo, usando identidades algébricas, você pode resolver:

(3x + 5)² = 9x² + 30x + 25

Isto reduz para:

3x + 5 = 0

Simplificando ainda mais, você obtém:

x = -5/3

A importância de praticar identidades algébricas

Praticar identidades algébricas ajuda os alunos a desenvolver uma compreensão intuitiva das estruturas matemáticas, aprimorando assim as habilidades de resolução de problemas. Essas habilidades se tornam fundamentais à medida que os alunos progridem na matemática e formam a base para muitos conceitos matemáticos avançados.

Praticar regularmente essas identidades por meio de exercícios como expandir e fatorar expressões polinomiais fará com que essas regras se tornem naturais e melhorem a fluência matemática.

Conclusão

Compreender e utilizar identidades algébricas ajuda na simplificação e cálculo eficiente de expressões polinomiais. Ao dominar identidades básicas e avançadas, os alunos podem resolver problemas matemáticos de forma rápida e precisa, preparando-se para tópicos mais complexos em matemática.

Através da prática contínua e aplicação dessas identidades, os alunos melhorarão seu pensamento algébrico, adquirindo habilidades valiosas para futuros contextos de aprendizagem e resolução de problemas.


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