Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Factorización de polinomios


Factorizar polinomios es el proceso de descomponer un polinomio en componentes más simples llamados factores. Multiplicar estos factores juntos devuelve el polinomio original. Comprender el proceso de factorización para resolver ecuaciones polinómicas y simplificar expresiones es importante.

Conceptos básicos de polinomios

Antes de sumergirnos en la factorización, recordemos qué son los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica que consta de variables (a menudo llamadas indeterminadas), coeficientes y exponentes, que solo tienen operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos. Un polinomio general se ve así:

p(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + rx + s

Aquí, a, b, ..., r, s son coeficientes, y n es un entero no negativo que indica el grado del polinomio. La potencia más alta de x en un polinomio es su grado.

¿Qué es la factorización?

Factorizar es el proceso de expresar un polinomio como un producto de polinomios más simples. Estos polinomios más simples se llaman factores. Por ejemplo, el polinomio x^2 - 5x + 6 puede factorizarse en:

(x - 2)(x - 3)

Cuando multiplicamos estos factores, (x - 2) y (x - 3), juntos, obtenemos el polinomio original x^2 - 5x + 6. Esto muestra que la factorización es esencialmente la inversa de la expansión.

¿Por qué es importante la factorización?

Factorizar ayuda a simplificar expresiones polinómicas y a resolver ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, cuando un polinomio está factorizado, se facilita encontrar sus raíces. Las raíces son los valores de la variable que hacen que el polinomio se acerque a cero. Cuando un polinomio se expresa en su forma factorizada, al establecer cada factor igual a cero nos da directamente sus raíces.

Tipos de factorización

Existen muchos métodos para factorizar polinomios. Algunos métodos comunes son los siguientes:

  1. Método del factor común: Encontrar un factor común para cada término y factorizarlo.
  2. Factorización por agrupación: Agrupar términos para encontrar factores comunes en pares o grupos de términos.
  3. Expresiones cuadráticas: Usar fórmulas o identidades como diferencia de cuadrados o trinomios cuadrados perfectos.
  4. Teorema de factorización: Usar la división sintética y los teoremas de factorización para encontrar raíces y factores.

Método del factor común

La forma más sencilla de factorización es encontrar el máximo común divisor (MCD) entre los términos y factorizarlo. Por ejemplo:

6x^3 + 3x^2 + 9x = 3x(2x^2 + x + 3)

El MCD de todos los términos 6x^3, 3x^2, y 9x es 3x.

Factorización por agrupación

La factorización por agrupación funciona organizando términos en grupos que tienen un factor común, y luego factorizando cada grupo. Considera el polinomio:

x^3 + x^2 + x + 1

Se puede agrupar y factorizar como sigue:

= x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)

Expresiones cuadráticas

Muchos polinomios pueden expresarse como una ecuación cuadrática:

ax^2 + bx + c

Las expresiones cuadráticas pueden factorizarse utilizando el método de división de término medio o aplicando identidades especiales.

División de término medio

Para factorizar la cuadrática x^2 + 7x + 10, primero buscamos los dos números que multiplicados dan 10 (el producto de los primeros y últimos coeficientes) y suman 7 (el término medio).

(x + 5)(x + 2)

Reconocimiento especial

Las identidades como la diferencia de cuadrados y el trinomio cuadrado perfecto son útiles:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Considera x^2 - 9:

= (x + 3)(x - 3)

Teorema del factor

El teorema del factor establece que si f(c) = 0, entonces (x - c) es un factor del polinomio f(x). Por ejemplo, si p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 y p(1) = 0, entonces (x - 1) es un factor.

Visualización de la factorización

Aquí hay una visualización de la factorización de polinomios utilizando un ejemplo:

4x + 5x + 6 (x + 3) (x + 2)

En este ejemplo, el polinomio x² + 5x + 6 se factoriza en dos factores: (x + 3) y (x + 2).

Resumen

Factorizar polinomios implica expresarlos como un producto de polinomios más simples. Juega un papel fundamental en la simplificación algebraica y en la resolución de ecuaciones. Diversos métodos como factorizar factores comunes, agrupar, usar identidades especiales, encontrar la división de término medio y usar teoremas de factorización ayudan a factorizar varios tipos de polinomios. En la práctica, dominar estos métodos requiere práctica y comprensión del comportamiento de los polinomios.

Recuerda, la clave para dominar la factorización de polinomios es la práctica y la comprensión de los patrones subyacentes.


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