Класс 9
  1. Числовые системы  1.1. Понимание действительных чисел  1.2. Рациональные числа  1.3. Иррациональные числа  1.4. Свойства действительных чисел  1.5. Законы степеней и радикалов  1.6. Представление на числовой прямой  1.7. Десятичное представление действительных чисел
  2. Многочлены  2.1. Определение и виды многочленов  2.2. Степень многочлена  2.3. Нули многочлена  2.4. Введение в теорему о остатке  2.5. Разложение многочленов  2.6. Понимание алгебраических тождеств  2.7. Полиномиальные уравнения и корни
  3. Координатная геометрия  3.1. Картезианская система  3.2. Рисование точек на плоскости  3.3. Понимание формулы расстояния в координатной геометрии  3.4. Формула отрезка  3.5. Площадь треугольника  3.6. Координаты середины и центра тяжести
  4. Линейные уравнения с двумя переменными  4.1. Решения линейного уравнения  4.2. Графический метод  4.3. Алгебраический метод решения линейных уравнений с двумя переменными  4.4. Понимание применения линейных уравнений с двумя переменными  4.5. Введение в линейные неравенства с двумя переменными
  5. Введение в евклидову геометрию  5.1. Основные определения и термины в евклидовой геометрии  5.2. Аксиомы и постулаты  5.3. Теоремы об углах и линиях  5.4. Свойства параллельных линий  5.5. Построение треугольников  5.6. Аксиома конгруентности
  6. Прямые и углы  6.1. Понимание отношений угловых пар  6.2. Параллельные линии и поперечные линии  6.3. Свойства углов, образованных параллельными линиями  6.4. Сумма углов треугольника  6.5. Типы углов
  7. Треугольник  7.1. Конгруэнтность треугольников  7.2. Критерии конгруэнтности в треугольниках  7.3. Свойства треугольников  7.4. Неравенства в треугольнике  7.5. Сходство треугольников  7.6. Теорема Пифагора
  8. Четырехугольник  8.1. Свойства четырехугольников  8.2. Типы четырехугольников  8.3. Теорема о середине в четырехугольниках  8.4. Свойства параллелограмма  8.5. Свойства трапеции и ромба  8.6. Диагонали и их свойства
  9. Площади параллелограммов и треугольников  9.1. Площадь параллелограмма  9.2. Понимание площади треугольника  9.3. Доказательства теории площадей  9.4. Применение теории полей
  10. Понимание кругов  10.1. Определения и терминология  10.2. Свойства круга  10.3. Понимание свойств хордов в окружностях  10.4. Касательные к окружности  10.5. Циклический четырехугольник  10.6. Понимание дуг и углов, образуемых в кругах
  11. Строительство  11.1. Основные конструкции  11.2. Построение биссектрисы  11.3. Построение треугольников  11.4. Построение касательных к окружности  11.5. Построение углов заданной величины
  12. Понимание формулы Герона  12.1. Площадь треугольника с использованием формулы Герона  12.2. Использование формулы Герона для различных треугольников и четырехугольников  12.3. Доказательство формулы Герона
  13. Площадь поверхности и объем  13.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  13.2. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  13.3. Площадь поверхности и объем конуса  13.4. Площадь поверхности и объем сферы и полусферы  13.5. Преобразование единиц измерения  13.6. Объем призмы
  14. Числа  14.1. Сбор данных  14.2. Представление данных  14.3. Введение в меры центральной тенденции  14.4. Среднее, медиана и мода  14.5. Графическое представление данных  14.6. Объем и измерение дисперсии
  15. Понимание вероятности  15.1. Введение в теорию вероятностей  15.2. Экспериментальная вероятность  15.3. Теоретическая вероятность  15.4. Простые задачи по вероятности

Класс 9 → Многочлены ↓


Степень многочлена


В математике многочлен — это выражение, которое может содержать константы, переменные и показатели степени, которые объединяются с помощью сложения, вычитания, умножения и неотрицательных целых показателей степени переменных. Понимание многочленов является фундаментальной частью алгебры, основного направления в изучении математики.

Что такое многочлен?

Многочлен — это сумма членов, каждый из которых включает коэффициент (число), переменную (например, x) и показатель степени (неотрицательное целое число, указывающее, сколько раз умножить переменную на саму себя). Например, рассмотрим следующий многочлен:

4x^3 + 3x^2 - 2x + 1

Этот многочлен имеет четыре члена: 4x^3, 3x^2, -2x и 1. Каждый член можно описать следующим образом:

  • 4x^3: Коэффициент равен 4, переменная — x, а показатель степени — 3.
  • 3x^2: Коэффициент равен 3, переменная — x, а показатель степени — 2.
  • -2x: Коэффициент равен -2, переменная — x, а показатель степени — 1.
  • 1: Это постоянный член с коэффициентом 1, и он не имеет переменных.

Понимание степени многочлена

Степенью многочлена называется наивысшая степень переменной в этом многочлене. Она показывает нам наивысшую степень переменной, присутствующей в любом из членов многочлена, когда он выражен в стандартной форме. Стандартная форма многочлена располагает члены в порядке убывания их показателей степени.

Для многочлена 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1 наивысшая степень переменной x — это 3. Следовательно, степень этого многочлена равна 3.

Примеры нахождения степени

Пример 1: Рассмотрим многочлен: 
7x^5 + 6x^3 + 4x^2 + x + 9
Степени членов следующие:
  • 7x^5: степень 5
  • 6x^3: степень 3
  • 4x^2: степень 2
  • x: степень 1
  • 9: степень 0 (постоянный член)
Наивысшая степень — 5, поэтому степень этого многочлена равна 5.
Пример 2: Рассмотрим многочлен: 
10 - 4x^2 + x^8 - 3x^7
Переставляя показатели в порядке убывания, получим: 
x^8 - 3x^7 - 4x^2 + 10
Наивысшая степень — 8, поэтому степень этого многочлена равна 8.

Иллюстрация многочленов и их степеней

Многочлены могут быть визуализированы графически, где степень многочлена часто дает подсказку о форме и характере его графика. Например, давайте исследуем разницу в графике для разных степеней многочленов.

Степень 1: Линейные многочлены

Многочлен степени 1 называется линейным многочленом. Он имеет вид ax + b и представляет собой прямую линию на графике.

(x = 0, y = b) y = ax + b

Степень 2: Квадратные многочлены

Многочлен степени 2 называется квадратным многочленом и обычно имеет вид ax^2 + bx + c. Его график — парабола.

y = ax² + bx + c

Степень 3: Кубические многочлены

Многочлен степени 3 называется кубическим многочленом. Он имеет вид ax^3 + bx^2 + cx + d и может образовать кривую в форме буквы S.

y = ax³ + bx² + cx + d

Степень и выражение многочлена

Различные выражения многочленов могут иметь одинаковую степень, даже если они выглядят по-разному. Степень помогает понять поведение функций многочлена, включая их графики и точки пересечения с осями. Вот как разные конфигурации коэффициентов не изменяют основную степень многочлена, если наивысшая степень остается неизменной.

Пример 3: Рассмотрим следующие многочлены:
  • 8x^4 + 7x^3 - x^2 + 5
  • -3x^4 + 2x^2 + x - 12
  • x^4 - x^3 + 3x^2 + 2
Все эти многочлены имеют одинаковую степень, равную 4. Несмотря на различие в коэффициентах, наивысшая степень переменной x остается неизменной.

Особые случаи многочленов

Постоянные многочлены

Постоянный многочлен относится к многочлену, который имеет только один постоянный член и не имеет переменных членов, например 7 или -4. Эти многочлены имеют степень 0, поскольку переменный член отсутствует, что можно считать как x^0.

Нулевой многочлен

Нулевой многочлен представляет собой особый случай, который выражается просто в виде 0. Степень нулевого многочлена неопределена, хотя иногда она считается равной минус бесконечности по некоторым вычислительным причинам.

Почему степень важна?

Степень многочлена предоставляет важную информацию о свойствах и поведении многочлена, таких как:

  • Количество корней: Многочлен степени n может иметь не более n корней. Эти корни могут быть действительными или комплексными числами.
  • Поведение при стремлении x к бесконечности: Степень помогает предсказать, как многочлен будет вести себя при стремлении x к бесконечности или минус бесконечности.
  • Наклон и изгиб: Для графически представленных многочленов степень влияет на количество точек перегиба кривой.

Заключение

Понимание степени многочлена важно как для алгебраических выражений, так и для графических интерпретаций. Определив наивысшую степень, присутствующую в многочлене, вы получаете информацию о форме графика, количестве приближенных решений и общем поведении выражения. Независимо от того, имеем ли дело с простыми линейными многочленами или сложными кубическими уравнениями, распознавание и работа со степенью многочленов — это фундаментальное умение в математике, которое закладывает основу для более сложных тем.


Класс 9 → 2.2


U
username
0%
завершено в Класс 9

← предыдущая (2.1)
Определение и виды многочленов
следующая (2.3) →
Нули многочлена

комментарии 



Степень многочлена

https://www.buddymath.com/g9/2.2?bmal=ru