9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Grau de um polinômio


Em matemática, um polinômio é uma expressão que pode conter constantes, variáveis e expoentes, que são combinados usando adição, subtração, multiplicação e expoentes não negativos dos números inteiros das variáveis. Compreender os polinômios é uma parte fundamental da álgebra, um importante campo de estudo na matemática.

O que é um polinômio?

Um polinômio é uma soma de termos, onde cada termo inclui um coeficiente (um número), uma variável (como x) e um expoente (um número inteiro não negativo que indica quantas vezes multiplicar a variável por si mesma). Por exemplo, considere o seguinte polinômio:

4x^3 + 3x^2 - 2x + 1

Este polinômio possui quatro termos: 4x^3, 3x^2, -2x, e 1 Cada termo pode ser descrito da seguinte forma:

  • 4x^3: O coeficiente é 4, a variável é x, e o expoente é 3.
  • 3x^2: O coeficiente é 3, a variável é x, e o expoente é 2.
  • -2x: O coeficiente é -2, a variável é x, e o expoente é 1.
  • 1: Este é um termo constante com coeficiente 1, e não possui variáveis.

Compreendendo o grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o maior expoente da variável dentro do polinômio. Ele nos diz sobre a maior potência da variável presente em qualquer termo do polinômio quando ele é expresso em sua forma padrão. A forma padrão de um polinômio organiza os termos em ordem decrescente de seus expoentes.

Para o polinômio 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1, o maior expoente de x é 3. Portanto, o grau desse polinômio é 3.

Exemplos de determinação de um grau

Exemplo 1: Considere o polinômio: 
7x^5 + 6x^3 + 4x^2 + x + 9
Os graus dos termos são os seguintes:
  • 7x^5: grau é 5
  • 6x^3: grau é 3
  • 4x^2: grau é 2
  • x: grau é 1
  • 9: grau é 0 (termo constante)
A maior potência é 5, então o grau deste polinômio é 5.
Exemplo 2: Considere o polinômio: 
10 - 4x^2 + x^8 - 3x^7
Reorganizando os expoentes em ordem decrescente, obtemos: 
x^8 - 3x^7 - 4x^2 + 10
A maior potência é 8, então o grau deste polinômio é 8.

Ilustrando polinômios e seus graus

Polinômios podem ser visualizados graficamente, onde o grau do polinômio frequentemente indica a forma e a natureza de seu gráfico. Por exemplo, vamos explorar a diferença no gráfico para diferentes graus de polinômios.

Grau 1: Polinômios lineares

Um polinômio de grau 1 é chamado de polinômio linear. Ele está na forma ax + b e representa uma linha reta no gráfico.

(x = 0, y = b) y = ax + b

Grau 2: Polinômios quadráticos

Um polinômio de grau 2 é conhecido como polinômio quadrático e geralmente tem a forma ax^2 + bx + c. Seu gráfico é uma parábola.

y = ax² + bx + c

Grau 3: Polinômios cúbicos

Um polinômio de grau 3 é chamado de polinômio cúbico. Ele tem a forma ax^3 + bx^2 + cx + d e pode formar uma curva em forma de S.

y = ax³ + bx² + cx + d

Grau e expressão polinomial

Diferentes expressões polinomiais podem ter o mesmo grau, mesmo que pareçam diferentes. O grau ajuda a entender o comportamento das funções polinomiais, incluindo seus gráficos e pontos de interseção com os eixos. Aqui está como diferentes configurações dos coeficientes não alteram o grau subjacente do polinômio, desde que a maior potência permaneça inalterada.

Exemplo 3: Considere os seguintes polinômios:
  • 8x^4 + 7x^3 - x^2 + 5
  • -3x^4 + 2x^2 + x - 12
  • x^4 - x^3 + 3x^2 + 2
Todos esses polinômios têm o mesmo grau, que é 4. Apesar de terem coeficientes diferentes, a maior potência de x permanece a mesma.

Casos especiais de polinômios

Polinômios constantes

Um polinômio constante refere-se a um polinômio que possui apenas um termo constante e nenhum termo variável, como 7 ou -4. Esses têm grau 0 porque o termo variável está ausente, o que pode ser considerado como x^0.

Polinômio zero

O polinômio zero é um caso especial, expresso simplesmente em termos de 0 O grau do polinômio zero é indefinido, embora às vezes seja considerado como menos infinito por algumas razões computacionais.

Por que o grau é importante?

O grau de um polinômio fornece informações importantes sobre as propriedades e o comportamento do polinômio, tais como:

  • Número de raízes: Um polinômio de grau n pode ter no máximo n raízes. Essas raízes podem ser números reais ou complexos.
  • Comportamento à medida que x se aproxima do infinito: O grau ajuda a prever o comportamento final do polinômio, quando x se aproxima do infinito ou menos infinito.
  • Inclinação e curvatura: Para polinômios representados graficamente, o grau afeta o número de pontos de inflexão da curva.

Conclusão

Compreender o grau de um polinômio é importante tanto em expressões algébricas quanto em interpretações gráficas. Ao identificar o maior expoente presente em um polinômio, você obtém informações sobre a forma do gráfico, o número de soluções aproximadas e o comportamento geral da expressão. Seja lidando com polinômios lineares simples ou equações cúbicas complexas, reconhecer e trabalhar com o grau dos polinômios é uma habilidade fundamental em matemática que estabelece as bases para tópicos avançados.


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