बहुपद की डिग्री
गणित में, एक बहुपद एक अभिव्यक्ति है जिसमें स्थिरांक, चर, और घातांक हो सकते हैं, जिन्हें जोड़, घटाव, गुणा, और चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक का उपयोग करके जोड़ा जाता है। बहुपद को समझना बीजगणित का एक मौलिक हिस्सा है, जो गणित के अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र है।
एक बहुपद क्या है?
एक बहुपद पदों का एक योग होता है, जहां प्रत्येक पद में एक गुणांक (एक संख्या), एक चर (जैसे x) और एक घातांक (एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक जो आपको बताता है कि चर को कितनी बार स्वयं से गुणा करना है) शामिल होता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बहुपद पर विचार करें:
4x^3 + 3x^2 - 2x + 1
इस बहुपद में चार पद होते हैं: 4x^3, 3x^2, -2x, और 1 प्रत्येक पद का विवरण इस प्रकार है:
4x^3: गुणांक 4 है, चरxहै, और घातांक 3 है।3x^2: गुणांक 3 है, चरxहै, और घातांक 2 है।-2x: गुणांक -2 है, चरxहै, और घातांक 1 है।1: यह एक स्थिरांक पद है जिसका गुणांक 1 है, और इसमें कोई चर नहीं है।
बहुपद की डिग्री को समझना
बहुपद की डिग्री बहुपद के भीतर चर का सबसे बड़ा घातांक है। यह हमें बहुपद के किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी शक्ति के बारे में बताती है जब इसे अपने मानक रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुपद का मानक रूप पदों को उनके घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करता है।
बहुपद 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1 के लिए, x का सबसे बड़ा घातांक 3 है। इसलिए, इस बहुपद की डिग्री 3 है।
एक डिग्री खोजने के उदाहरण
7x^5 + 6x^3 + 4x^2 + x + 9
7x^5: डिग्री 5 है6x^3: डिग्री 3 है4x^2: डिग्री 2 हैx: डिग्री 1 है9: डिग्री 0 है (स्थिरांक पद)
10 - 4x^2 + x^8 - 3x^7
x^8 - 3x^7 - 4x^2 + 10
बहुपदों और उनकी डिग्रियों को दर्शाना
बहुपदों को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जा सकता है, जहां बहुपद की डिग्री अक्सर इसके ग्राफ के आकार और प्रकृति के बारे में संकेत देती है। उदाहरण के लिए, चलिए विभिन्न बहुपद डिग्रियों के लिए प्लॉट में अंतर का पता लगाते हैं।
डिग्री 1: रैखिक बहुपद
डिग्री 1 का एक बहुपद एक रैखिक बहुपद कहलाता है। यह ax + b के रूप में होता है और ग्राफ पर एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।
डिग्री 2: द्विघात बहुपद
डिग्री 2 का एक बहुपद एक द्विघात बहुपद के रूप में जाना जाता है और आमतौर पर ax^2 + bx + c के रूप में होता है। इसका ग्राफ एक परवलय होता है।
डिग्री 3: घन बहुपद
डिग्री 3 का एक बहुपद एक घन बहुपद कहलाता है। यह ax^3 + bx^2 + cx + d के रूप में होता है और एक S-आकृति निर्माण कर सकता है।
डिग्री और बहुपद अभिव्यक्ति
विभिन्न बहुपद अभिव्यक्तियों में एक ही डिग्री हो सकती है, भले ही वे अलग दिखाई दें। डिग्री बहुपद कार्यों के व्यवहार को समझने में मदद करती है, जिसमें उनके ग्राफ और अक्षों के साथ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का समावेश है। यहां बताया गया है कि गुणांकों के विभिन्न विन्यास किस प्रकार बहुपद की अंतर्निहित डिग्री को नहीं बदलते हैं, जब तक कि सबसे बड़ी शक्ति अपरिवर्तित रहती है।
8x^4 + 7x^3 - x^2 + 5-3x^4 + 2x^2 + x - 12x^4 - x^3 + 3x^2 + 2
x का उच्चतम घातांक समान रहता है।
बहुपदों के विशेष मामले
स्थिर बहुपद
एक स्थिरांक बहुपद उस बहुपद को संदर्भित करता है जिसमें केवल एक स्थिरांक पद होता है और कोई चर पद नहीं होता है, जैसे 7 या -4। इनकी डिग्री 0 होती है क्योंकि चर पद अनुपस्थित है, जिसे x^0 के रूप में माना जा सकता है।
शून्य बहुपद
शून्य बहुपद एक विशेष मामला है, जिसे बस 0 के रूप में व्यक्त किया जाता है। शून्य बहुपद की डिग्री अपरिभाषित होती है, हालांकि कभी-कभी इसे कुछ गणनात्मक कारणों के लिए नकारात्मक अनंत माना जाता है।
डिग्री क्यों महत्वपूर्ण है?
बहुपद की डिग्री बहुपद के गुण और व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करती है, जैसे:
- मूलों की संख्या: डिग्री
nका एक बहुपद अधिकतमnमूल हो सकता है। ये मूल वास्तविक या संगत सांख्य हो सकते हैं। - x के अनंत दिशा में जाने पर व्यवहार: जब
xअनंत या ऋणात्मक अनंत की ओर बढ़ता है, तो बहुपद की डिग्री अंतिम व्यवहार की भविष्यवाणी करने में मदद करती है। - ढाल और घुमाव: ग्राफिक रूप से दर्शाए गए बहुपदों के लिए, डिग्री वक्र के अवस्थान बिंदुओं की संख्या को प्रभावित करती है।
निष्कर्ष
बहुपद की डिग्री को समझना गणितीय व्यंजनों और ग्राफिकल व्याख्याओं दोनों में महत्वपूर्ण है। एक बहुपद में मौजूद उच्चतम घातांक की पहचान करके, आप ग्राफ के आकार, अनुमानित समाधानों की संख्या, और अभिव्यक्ति के समग्र व्यवहार के बारे में जानकारी प्राप्त करते हैं। एक सरल रैखिक बहुपद से लेकर जटिल घन समीकरणों के निपटने तक, बहुपदों की डिग्री को पहचानना और उसके साथ कार्य करना गणित में एक मौलिक कौशल है जो उन्नत विषयों की आधारशिला रखता है।
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