बहुपदों की परिभाषा और प्रकार
गणित में, बहुपद महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं और विभिन्न बीजगणितीय अभिव्यक्तियों और समीकरणों को समझने के लिए आवश्यक हैं। यहाँ, आप जानेंगे कि बहुपद क्या हैं, उनके विभिन्न प्रकार, और उनसे संबंधित विभिन्न उदाहरण। यह पाठ आपको कक्षा 9 के छात्रों के लिए उपयुक्त बहुपदों की सरल व्याख्या के माध्यम से मार्गदर्शन करेगा।
बहुपद क्या है?
एक बहुपद एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो चर, गुणांक, और जोड़, घटाव, गुणा, और धनात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन से बनी होती है। यहाँ एक बहुपद आमतौर पर इस प्रकार दिखता है:
a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0इस अभिव्यक्ति में:
a n , a n-1 , ..., a 1 , a 0गुणांक हैं।xचर या अपरिभाषित है।nबहुपद की डिग्री है, जो बहुपद में चर की उच्चतम घात है।
आइए एक सरल उदाहरण देखें:
3x 2 + 2x + 1यहाँ, 3x 2 + 2x + 1 एक द्विघातीय बहुपद है, जहाँ:
3x 2का गुणांक है।2xका गुणांक है।1एक स्थिरांक पद है।
बहुपदों के प्रकार
बहुपदों को उनके पदों की संख्या और बहुपद की डिग्री के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।
पदों की संख्या के आधार पर
बहुपदों को उनके पास कितने पद हैं, इस पर आधारित निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:
- एकपद: एक ऐसा बहुपद जिसमें केवल एक पद होता है। उदाहरण के लिए:
5x 3 - द्विपद: एक ऐसा बहुपद जिसमें दो पद होते हैं। उदाहरण के लिए:
7x + 4 - त्रिपद: एक ऐसा बहुपद जिसमें तीन पद होते हैं। उदाहरण के लिए:
x 2 + 3x + 2
बहुपद की डिग्री के आधार पर
बहुपद की डिग्री बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात है। डिग्री के आधार पर प्रकार इस प्रकार हैं:
- शून्य बहुपद: एक ऐसा बहुपद जिसके सभी गुणांक शून्य के बराबर होते हैं। इसकी कोई डिग्री नहीं होती। उदाहरण के लिए:
0 - स्थिर बहुपद: डिग्री 0 वाला एक बहुपद जिसमें केवल एक स्थिरांक पद होता है और कोई चर नहीं होता। उदाहरण के लिए:
7 - रैखिक बहुपद: डिग्री 1 का एक बहुपद। इसका ग्राफ एक सीधी रेखा होता है। उदाहरण के लिए:
3x + 4 - द्विघातीय बहुपद: डिग्री 2 का एक बहुपद। जब इसे ग्राफ किया जाता है तो यह परवलय बनाता है। उदाहरण के लिए:
x 2 + 2x + 1 - घन बहुपद: डिग्री 3 का एक बहुपद। ग्राफ किये जाने पर इसके एक या दो मोड़ हो सकते हैं। उदाहरण के लिए:
2x 3 - 4x 2 + x + 5 - चतुर्थ बहुपद: डिग्री 4 का एक बहुपद। उदाहरण के लिए:
x 4 - x 3 + 2x - 1 - पंचम बहुपद: डिग्री 5 का एक बहुपद। उदाहरण के लिए:
x 5 - 3x 4 + x 3 - x + 1
बहुपदों का दृश्यीकरण
आइए कुछ बहुपदों को समझने के लिए उनका दृश्यीकरण करें। हम सरल रैखिक बहुपदों से शुरू करेंगे और अधिक जटिल बहुपदों की ओर बढ़ेंगे।
ऊपर की लाल रेखा एक रैखिक बहुपद का प्रतिनिधित्व करती है, 2x + 1 देखें कि यह कैसे एक सीधी रेखा बनाती है।
अब, आइए एक द्विघातीय बहुपद देखें, जो एक परवलय नामक एक वक्र बनाती है।
नीली वक्र एक द्विघातीय बहुपद का प्रतिनिधित्व करती है, x² - x देखें कि यह 'U' आकार बनाती है।
बहुपदों के और उदाहरण
मूल बातें और दृश्यमान उदाहरणों के अलावा, चलिए कुछ समस्याओं के माध्यम से काम करते हैं और विभिन्न प्रकार के बहुपदों की पहचान करने का अभ्यास करते हैं।
उदाहरण 1: बहुपद के प्रकार का निर्धारण करें:
5x 4 + 3x 2 - x + 1इस बहुपद में चार पद हैं। यह एक चतुर्थ बहुपद है क्योंकि इसकी डिग्री 4 है, जो सबसे बड़ा घातांक है।
उदाहरण 2: बहुपद की पहचान करें और वर्गीकृत करें:
7y - 9इस बहुपद में दो पद हैं। यह एक रैखिक द्विपद है क्योंकि इसकी डिग्री 1 है (y की उच्चतम घात), और इसमें दो पद हैं।
उदाहरण 3: एक बहुपद लिखें और उसे वर्गीकृत करें:
आइए एक बहुपद लिखते हैं जिसमें तीन पद हों, जिसकी डिग्री 3 हो।
2x 3 + x 2 - 4यह एक त्रिपद है क्योंकि इसमें तीन पद हैं, और उच्चतम घात 3 है।
निष्कर्ष
इस पाठ में, हमने बहुपदों की परिभाषा और बहुपदों की डिग्री और पद संख्या के आधार पर उनका वर्गीकरण किया। बहुपद बीजगणित के मूलभूत घटकों का निर्माण करते हैं और समीकरण हल करने से लेकर ग्राफिंग कार्यों तक सब कुछ में आवश्यक हैं।
विभिन्न प्रकार के बहुपदों को समझने से छात्रों को बीजगणित में एक मजबूत आधार विकसित करने में मदद मिलती है और उन्हें भविष्य में अधिक जटिल गणितीय अवधारणाओं का सामना करने के लिए तैयार करता है। इन बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के काम करने की जानकारी बढ़ाने के लिए विभिन्न उदाहरणों के साथ अभ्यास करते रहें!
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