संख्या प्रणाली

गणित में, एक संख्या प्रणाली संख्याओं को व्यक्त करने के लिए एक लेखन प्रणाली है। यह गिनने, मापने और लेबल करने का एक उपयोगी तरीका प्रस्तुत करता है। विभिन्न प्रकार की संख्या प्रणालियाँ होती हैं और इन्हें आवश्यकताओं के अनुसार उपयोग किया जाता है। आइए हम समझें कि संख्या प्रणालियाँ क्या हैं, उनके प्रकार और गणित में उनका उपयोग कैसे किया जाता है।

संख्या प्रणालियों के प्रकार

मुख्य रूप से चार प्रकार की संख्या प्रणालियाँ होती हैं:

• दशमलव संख्या प्रणाली (आधार 10)
• बाइनरी संख्या प्रणाली (आधार 2)
• ऑक्टल संख्या प्रणाली (आधार 8)
• हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली (आधार 16)

दशमलव संख्या प्रणाली (आधार 10)

दशमलव संख्या प्रणाली सबसे अधिक उपयोग में आने वाली संख्या प्रणाली है। इसे आधार 10 संख्या प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है। यह दस अंकों का उपयोग करती है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9। दशमलव संख्या में प्रत्येक अंक का उसके स्थान के आधार पर 10 की घाताओं में स्थान मान होता है।

उदाहरण:

दशमलव संख्या 345 व्यक्त की जा सकती है:

  
345 = 3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰  

बाइनरी संख्या प्रणाली (आधार 2)

बाइनरी संख्या प्रणाली मुख्य रूप से संगणना और इलेक्ट्रॉनिक्स में उपयोग की जाती है। इसे आधार 2 संख्या प्रणाली के रूप में जाना जाता है। यह केवल दो अंकों का उपयोग करती है, 0 और 1। बाइनरी संख्या में प्रत्येक अंक 2 की घाताओं का प्रतिनिधित्व करता है, जो दायें से बायें तक की होती है।

उदाहरण:

बाइनरी संख्या 1011 व्यक्त की जा सकती है:

  
1011 = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰  
     = 8 + 0 + 2 + 1  
     = 11 (दशमलव)  

ऑक्टल संख्या प्रणाली (आधार 8)

ऑक्टल संख्या प्रणाली आधार 8 का उपयोग करती है और इसमें 0 से 7 तक के अंक शामिल होते हैं। इसे डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में अक्सर उपयोग किया जाता है क्योंकि इसे बाइनरी में आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है।

उदाहरण:

ऑक्टल संख्या 375 व्यक्त की जा सकती है:

  
375 = 3 × 8² + 7 × 8¹ + 5 × 8⁰  
    = 3 × 64 + 7 × 8 + 5 × 1  
    = 192 + 56 + 5  
    = 253 (दशमलव)  

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली (आधार 16)

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली, या आधार 16 संख्या प्रणाली, सोलह विभिन्न चिह्नों का उपयोग करती है: 0-9 और A-F, जहां A 10 का प्रतिनिधित्व करता है, B 11 है, और इसी तरह F जो 15 है। यह प्रणाली संगणना में एक अधिक मानव-सुखदायक प्रतिनिधित्व के रूप में उपयोग की जाती है।

उदाहरण:

हेक्साडेसिमल संख्या 1F4 व्यक्त की जा सकती है:

  
1F4 = 1 × 16² + 15 × 16¹ + 4 × 16⁰  
    = 1 × 256 + 15 × 16 + 4 × 1  
    = 256 + 240 + 4  
    = 500 (दशमलव)  

संख्या प्रणालियों के बीच रूपांतरण

संख्याओं को एक आधार से दूसरे में परिवर्तित करना पहले कठिन लग सकता है, लेकिन अभ्यास से यह आसान हो सकता है। नीचे कुछ मूल तरीके हैं, ताकि विभिन्न संख्या प्रणालियों के बीच रूपांतरण किया जा सके।

दशमलव से बाइनरी रूपांतरण

किसी दशमलव संख्या को बाइनरी में रूपांतरित करने के लिए:

• दशमलव संख्या को 2 से भाग दें।
• शेष (0 या 1) लिखें।
• प्राप्त भागफल को 2 से फिर से भाग दें और शेष को फिर से नोट करें।
• जब तक आपको भागफल 0 न मिल जाए, इन चरणों को दोहराते रहें।
• बाइनरी संख्या शेष का उल्टा क्रम होता है।

उदाहरण:

18 (दशमलव) को बाइनरी में परिवर्तित करें:

  
18 ÷ 2 = 9 शेष 0  
9 ÷ 2 = 4 शेष 1  
4 ÷ 2 = 2 शेष 0  
2 ÷ 2 = 1 शेष 0  
1 ÷ 2 = 0 शेष 1  
उल्टा क्रम में पढ़ें: 10010 (बाइनरी)  

बाइनरी से दशमलव रूपांतरण

किसी बाइनरी संख्या को दशमलव में रूपांतरित करने के लिए:

• बाइनरी संख्या लिखें।
• दायें से प्रारंभ करके, प्रत्येक बाइनरी अंक को 2 की उस स्थिति संख्या की घात में गुणा करें।
• सभी उत्पादों को जोड़ें ताकि दशमलव मान प्राप्त हो सके।

उदाहरण:

1101 (बाइनरी) को दशमलव में रूपांतरित करें:

  
1101 = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰  
    = 8 + 4 + 0 + 1  
    = 13 (दशमलव)  

अधिक जानकारी

रूपांतरण के तरीके ऑक्टल और हेक्साडेसिमल प्रणालियों पर भी लागू किए जा सकते हैं, उनमें वही तकनीकें होती हैं लेकिन ऑक्टल के लिए आधार 8 और हेक्साडेसिमल के लिए आधार 16 होता है। ये प्रणालियाँ बाइनरी संख्याओं के साथ काम करने को आसान बना देती हैं क्योंकि वे बाइनरी संख्याओं की लंबाई को कम कर देती हैं जिन्हें पढ़ना और काम करना कठिन हो सकता है।

निष्कर्ष

संख्या प्रणालियों की समझ गणित और संगणना विज्ञान में मौलिक है। विभिन्न आधार विशिष्ट कार्यों की पूर्ति करते हैं, जैसे कि गणनाओं को सरल बनाना या बड़ी बाइनरी संख्याओं के प्रदर्शन को अधिक सुगम्य बनाना। इन प्रणालियों के बीच रूपांतरण का अभ्यास करें, और विभिन्न आधारों में संख्याओं को देखना आपका स्वाभाविक हो जाएगा।

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