Теоретическая вероятность

Понятие вероятности является фундаментальным аспектом математики, который касается вероятности наступления события. Среди различных видов вероятности, теоретическая вероятность играет важную роль, так как предоставляет основу для предсказания результатов различных ситуаций на основе логического размышления, без каких-либо фактических экспериментов. Понимание теоретической вероятности помогает человеку определить возможности в данной ситуации на основе известной информации.

Понимание теоретической вероятности

Теоретическая вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к числу возможных исходов, при условии, что каждый исход равновероятен. Это предоставляет идеальный способ расчета вероятностей без необходимости экспериментальных данных.

Математически, теоретическая вероятность может быть выражена как:

Теоретическая вероятность, P(E) = Число благоприятных исходов / Общее число возможных исходов

Где:

• Благоприятные исходы: исходы, которые удовлетворяют критериям интересующего нас события.
• Возможные исходы: Все возможные исходы в данной ситуации.

Пример 1: Подбрасывание честной монеты

Один из самых простых примеров теоретической вероятности — это подбрасывание честной монеты. Обычная монета имеет две стороны: орел и решка. Когда мы говорим о честной монете, это означает, что обе стороны, орел и решка, равновероятны при подбрасывании.

Рассчитаем вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты:

• Общее количество возможных исходов: При подбрасывании монеты есть два возможных исхода – орел или решка.
• Благоприятный исход: Событие, которое нас интересует, это выпадение орла.

Число благоприятных исходов = 1 (орел) Общее число возможных исходов = 2 (орел, решка) Теоретическая вероятность, P(выпадение орла) = 1 / 2 = 0.5

Таким образом, теоретическая вероятность выпадения орла при подбрасывании честной монеты равна 0.5 или 50%.

Пример 2: Бросание честного кубика

Кубики являются еще одним распространенным примером при обсуждении вероятности. Стандартный кубик имеет шесть граней, пронумерованных от 1 до 6. Когда кубик бросают, каждая грань имеет равную вероятность выпасть вверх.

Мы рассчитаем вероятность выпадения 4:

• Общее количество возможных исходов: Когда кубик бросают, есть шесть возможных исходов от 1 до 6.
• Благоприятный исход: Событие, которое нас интересует, это выпадение 4.

Число благоприятных исходов = 1 (выпадение 4) Общее количество возможных исходов = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) Теоретическая вероятность, P(выпадение 4) = 1 / 6 ≈ 0.1667

Таким образом, теоретическая вероятность выпадения 4 честного кубика составляет примерно 0.1667, или около 16.67%.

Пример 3: Достать красную карту из колоды

Рассмотрим стандартную колоду из 52 карт. Эти карты делятся на четыре масти: черви, бубны, пики и трефы. Черви и бубны красные, в то время как пики и трефы черные.

Мы рассчитаем вероятность достать красную карту из колоды:

• Общее количество возможных исходов: Всего 52 карты.
• Благоприятный исход: Событие, которое нас интересует, это вытянуть красную карту. Всего 26 красных карт: 13 червей и 13 бубен.

Число благоприятных исходов = 26 (13 червей + 13 бубен) Общее количество возможных исходов = 52 Теоретическая вероятность, P(вытаскивание красной карты) = 26 / 52 = 1 / 2 = 0.5

Таким образом, теоретическая вероятность достать красную карту из колоды в 52 карты равна 0.5 или 50%.

Теоретическая вероятность с несколькими событиями

В сценариях с несколькими событиями теоретическая вероятность также может помочь определить вероятность каждого события, происходящего независимо или одновременно. Давайте посмотрим, как теоретическая вероятность применяется в таких сценариях.

Пример 4: Вероятность бросания более одного кубика

Предположим, что два кубика бросаются одновременно. Каждый кубик честный и имеет шесть сторон, пронумерованных от 1 до 6. Нас интересует вероятность получить сумму 8 от бросков кубиков.

Когда два кубика бросают, у каждого кубика 6 возможных исходов, создающих полные комбинации исходов:

Общее количество возможных исходов = 6 (для первого кубика) × 6 (для второго кубика) = 36

Далее, определим благоприятные исходы, которые в сумме дают 8:

• (2, 6)
• (3, 5)
• (4, 4)
• (5, 3)
• (6, 2)

Всего имеется 5 благоприятных исходов.

Число благоприятных исходов = 5 Теоретическая вероятность, P(сумма 8) = 5 / 36 ≈ 0.1389

Таким образом, теоретическая вероятность получить сумму 8 от двух честных кубиков составляет примерно 0.1389, или 13.89%.

Свойства теоретической вероятности

Существует несколько основных свойств теоретической вероятности, которые делают ее полезной концепцией для понимания и решения задач, связанных с вероятностью:

• Диапазон: Вероятность любого события лежит в интервале от 0 до 1. Вероятность 0 означает, что событие не произойдет, тогда как вероятность 1 указывает на уверенность.
• Общая вероятность: Сумма вероятностей всех возможных исходов эксперимента всегда равна 1.
• Добавочные события: Вероятность непроизведения события получается путем вычитания 1 из вероятности его произождения:

  P(not E) = 1 - P(E)

Пример 5: Добавочные события

Возвращаясь к примеру с подбрасыванием монеты, определим вероятность не выпадения орла (т.е. выпадения решки).

• Общее количество возможных исходов: 2 (орел, решка)
• Благоприятный исход для решки: решка

Теоретическая вероятность, P(решка) = 1 / 2 = 0.5

Альтернативно, используя дополнительную вероятность:

P(решка) = 1 - P(орла) = 1 - 0.5 = 0.5

Оба подхода подтверждают, что вероятность выпадения решки составляет 0.5 или 50%.

Заключение

Теоретическая вероятность предоставляет логический и систематический способ для определения вероятности возможных исходов в различных сценариях. Учитывая каждый возможный исход и определяя, какие исходы наиболее благоприятны для рассматриваемого события, индивиды могут легко определить связанные вероятности.

Будь то подбрасывание монеты, бросание кубика или вытаскивание карты, принципы теоретической вероятности остаются неизменными. Понимание этих принципов является основой для понимания более сложных концепций в вероятности, статистике и принятии решений в различных дисциплинах.

комментарии