9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Probabilidade teórica


O conceito de probabilidade é um aspecto fundamental da matemática que lida com a probabilidade de um evento ocorrer. Entre os diferentes tipos de probabilidade, a probabilidade teórica desempenha um papel vital, pois fornece uma estrutura para prever os resultados de diferentes situações com base em raciocínios lógicos, sem qualquer experimentação real. Compreender a probabilidade teórica ajuda uma pessoa a descobrir as possibilidades em um determinado cenário com base nas informações conhecidas.

Entendendo a probabilidade teórica

A probabilidade teórica é definida como a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de possíveis resultados, desde que cada resultado seja igualmente provável. Isso fornece uma maneira ideal de calcular probabilidades sem a necessidade de dados experimentais.

Matematicamente, a probabilidade teórica pode ser expressa como:

Probabilidade Teórica, P(E) = Número de Resultados Favoráveis / Número Total de Resultados Possíveis

Onde:

  • Resultados favoráveis: resultados que atendem aos critérios do evento em que estamos interessados.
  • Resultados possíveis: Todos os resultados possíveis em um determinado cenário.

Exemplo 1: Lançando uma moeda justa

Um dos exemplos mais simples de probabilidade teórica é lançar uma moeda justa. Uma moeda normal tem dois lados: cara e coroa. Quando falamos de uma moeda justa, significa que ambos os lados, cara e coroa, são igualmente prováveis de ocorrer quando lançados.

Vamos calcular a probabilidade de obter cara ao lançar uma moeda:

  • Total de Resultados Possíveis: Quando uma moeda é lançada, há dois resultados possíveis – cara ou coroa.
  • Resultado favorável: O evento em que estamos interessados é obter cara.
Número de resultados favoráveis = 1 (cara) Número total de resultados possíveis = 2 (cara, coroa) Probabilidade Teórica, P(obter cara) = 1 / 2 = 0,5

Assim, a probabilidade teórica de obter cara ao lançar uma moeda justa é de 0,5 ou 50%.

Coin Head

Exemplo 2: Lançando dados justos

Dados são outro exemplo comum ao discutir probabilidade. Um dado padrão tem seis faces, numeradas de 1 a 6. Quando o dado é lançado, cada face tem uma chance igual de aparecer voltada para cima.

Vamos calcular a probabilidade de obter 4:

  • Total de Resultados Possíveis: Quando um dado é lançado, há seis resultados possíveis de 1 a 6.
  • Resultado Favorável: O evento em que estamos interessados é que um 4 apareça.
Número de resultados favoráveis = 1 (rolando um 4) Número total de resultados possíveis = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) Probabilidade Teórica, P(rolando um 4) = 1 / 6 ≈ 0,1667

Assim, a probabilidade teórica de um dado justo lançar um 4 é aproximadamente 0,1667, ou cerca de 16,67%.

4

Exemplo 3: Tirando uma carta vermelha do baralho

Considere um baralho padrão de 52 cartas. Essas cartas são divididas em quatro naipes: copas, ouros, espadas e paus. Copas e ouros são vermelhos, enquanto espadas e paus são pretos.

Vamos calcular a probabilidade de tirar uma carta vermelha do baralho:

  • Total de Resultados Possíveis: Há 52 cartas no total.
  • Resultado Favorável: O evento em que estamos interessados é tirar uma carta vermelha. Existem 26 cartas vermelhas: 13 copas e 13 ouros.
Número de resultados favoráveis = 26 (13 copas + 13 ouros) Número total de resultados possíveis = 52 Probabilidade Teórica, P(tirar uma carta vermelha) = 26 / 52 = 1 / 2 = 0,5

Portanto, a probabilidade teórica de tirar uma carta vermelha de um baralho de 52 cartas é de 0,5 ou 50%.

Red

Probabilidade teórica com múltiplos eventos

Em cenários com múltiplos eventos, a probabilidade teórica também pode ajudar a determinar a probabilidade de cada evento ocorrer de forma independente ou simultaneamente. Vamos ver como a probabilidade teórica se aplica em tais cenários.

Exemplo 4: Probabilidade de lançar mais de um dado

Suponha que dois dados estejam sendo lançados simultaneamente. Cada dado é justo e tem seis lados numerados de 1 a 6. Estamos interessados em encontrar a probabilidade de obter uma soma de 8 dos lançamentos dos dados.

Quando dois dados são lançados, cada dado tem 6 resultados possíveis, totalizando as combinações de resultados:

Total de resultados possíveis = 6 (para o primeiro dado) × 6 (para o segundo dado) = 36

Em seguida, determine os resultados favoráveis que somam 8:

  • (2, 6)
  • (3, 5)
  • (4, 4)
  • (5, 3)
  • (6, 2)

Há um total de 5 resultados favoráveis.

Número de resultados favoráveis = 5 Probabilidade Teórica, P(soma de 8) = 5 / 36 ≈ 0,1389

Portanto, a probabilidade teórica de obter uma soma de 8 de dois dados justos é aproximadamente 0,1389, ou 13,89%.

4 4

Propriedades da probabilidade teórica

Existem várias propriedades básicas da probabilidade teórica que a tornam um conceito útil na compreensão e solução de problemas relacionados à probabilidade:

  • Faixa: A probabilidade de qualquer evento está entre 0 e 1. Uma probabilidade de 0 significa que o evento não acontecerá, enquanto uma probabilidade de 1 indica certeza.
  • Probabilidade Total: A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis de um experimento é sempre 1.
  • Eventos Complementares: A probabilidade de um evento não ocorrer é obtida subtraindo 1 da probabilidade de ele ocorrer:
    P(não E) = 1 - P(E)

Exemplo 5: Eventos Complementares

Voltando ao exemplo de lançar uma moeda, vamos determinar a probabilidade de não obter cara (ou seja, obter coroa).

  • Total de resultados possíveis: 2 (cara, coroa)
  • Resultado favorável para coroa: coroa
Probabilidade Teórica, P(coroa) = 1 / 2 = 0,5

Alternativamente, usando a probabilidade complementar:

P(coroa) = 1 - P(cara) = 1 - 0,5 = 0,5

Ambas as abordagens confirmam que a probabilidade de obter coroa é de 0,5 ou 50%.

Conclusão

A probabilidade teórica proporciona uma maneira lógica e sistemática de determinar a probabilidade de resultados possíveis em vários cenários. Considerando cada resultado possível e determinando quais resultados são mais favoráveis ao evento em exame, os indivíduos podem facilmente descobrir as probabilidades associadas.

Seja lançando uma moeda, jogando um dado ou tirando uma carta, os princípios da probabilidade teórica permanecem constantes. Compreender esses princípios é a base para entender conceitos mais avançados em probabilidades, estatísticas e processos de tomada de decisão em várias disciplinas.


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