सैद्धांतिक प्रायिकता

प्रायिकता की अवधारणा गणित का एक मौलिक पहलू है जो किसी घटना के होने की संभावना से संबंधित है। विभिन्न प्रकार की प्रायिकताओं में से, सैद्धांतिक प्रायिकता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है क्योंकि यह तर्कसंगत विवेचन के आधार पर विभिन्न स्थितियों के परिणामों की भविष्यवाणी करने का एक ढांचा प्रदान करती है, बिना किसी वास्तविक प्रयोग के। सैद्धांतिक प्रायिकता को समझने से किसी दिए गए परिदृश्य में ज्ञात जानकारी के आधार पर संभावनाओं का पता लगाने में मदद मिलती है।

सैद्धांतिक प्रायिकता को समझना

सैद्धांतिक प्रायिकता को अनुकूल परिणामों की संख्या का संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, बशर्ते कि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित हो। यह प्रयोगात्मक डेटा की आवश्यकता के बिना प्रायिकताओं की गणना करने का एक आदर्श तरीका प्रदान करता है।

गणितीय रूप से, सैद्धांतिक प्रायिकता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

सैद्धांतिक प्रायिकता, P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

जहां:

• अनुकूल परिणाम: परिणाम जो हम जिस घटना में रुचि रखते हैं उसके मापदंडों को पूरा करते हैं।
• संभावित परिणाम: किसी दिए गए परिदृश्य में सभी संभावित परिणाम।

उदाहरण 1: एक निष्पक्ष सिक्का उछालना

सैद्धांतिक प्रायिकता के सबसे सरल उदाहरणों में से एक निष्पक्ष सिक्का उछालना है। एक साधारण सिक्के के दो पक्ष होते हैं: सिर और पूंछ। जब हम एक निष्पक्ष सिक्के की बात करते हैं, तो इसका मतलब है कि उछाले जाने पर सिर और पूंछ दोनो के समान रूप से होने की संभावना होती है।

आइए सिक्का उछालने पर सिर प्राप्त करने की प्रायिकता की गणना करें:

• संभावित परिणामों की कुल संख्या: जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो दो संभावित परिणाम होते हैं – सिर या पूंछ।
• अनुकूल परिणाम: वह घटना जिसमें हम रुचि रखते हैं वह है सिर प्राप्त करना।

अनुकूल परिणामों की संख्या = 1 (सिर) संभावित परिणामों की कुल संख्या = 2 (सिर, पूंछ) सैद्धांतिक प्रायिकता, P(सिर प्राप्त करना) = 1 / 2 = 0.5

इस प्रकार, निष्पक्ष सिक्का उछालने पर सिर आने की सैद्धांतिक प्रायिकता 0.5 या 50% है।

उदाहरण 2: निष्पक्ष पासा फेंकना

प्रायिकता पर चर्चा करते समय पासा दूसरा सामान्य उदाहरण है। एक मानक पासा के छह फलक होते हैं, जिन पर 1 से 6 तक अंकित होते हैं। जब पासा फेंका जाता है, तो प्रत्येक फलक के ऊपर आने की समान संभावना होती है।

आइए 4 प्राप्त करने की प्रायिकता की गणना करें:

• संभावित परिणामों की कुल संख्या: जब एक पासा फेंका जाता है, तो 1 से 6 तक के छह संभावित परिणाम होते हैं।
• अनुकूल परिणाम: वह घटना जिसमें हम रुचि रखते हैं वह है 4 प्राप्त होना।

अनुकूल परिणामों की संख्या = 1 (4 रोल करना) संभावित परिणामों की कुल संख्या = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) सैद्धांतिक प्रायिकता, P(4 रोल करना) = 1 / 6 ≈ 0.1667

इस प्रकार, निष्पक्ष पासा फेंकने पर 4 मिलने की सैद्धांतिक प्रायिकता लगभग 0.1667 है, या लगभग 16.67%।

उदाहरण 3: ताश के पत्तों से लाल पत्ता निकालना

52 ताश के पत्तों का एक मानक डेक पर विचार करें। इन पत्तों को चार सूटों में विभाजित किया गया है: दिल, हीरे, पत्ते और क्लब। दिल और हीरे लाल होते हैं, जबकि पत्ते और क्लब काले होते हैं।

आइए ताश के पत्तों में से लाल पत्ता निकालने की प्रायिकता की गणना करें:

• संभावित परिणामों की कुल संख्या: कुल मिलाकर 52 पत्ते हैं।
• अनुकूल परिणाम: वह घटना जिसमें हम रुचि रखते हैं, वह है लाल पत्ता निकालना। लाल पत्तों की संख्या 26 है: 13 दिल और 13 हीरे।

अनुकूल परिणामों की संख्या = 26 (13 दिल + 13 हीरे) संभावित परिणामों की कुल संख्या = 52 सैद्धांतिक प्रायिकता, P(लाल पत्ता निकालना) = 26 / 52 = 1 / 2 = 0.5

इसलिए, 52 ताश के पत्तों में से लाल पत्ता निकालने की सैद्धांतिक प्रायिकता 0.5 या 50% है।

बहु-घटनाओं के साथ सैद्धांतिक प्रायिकता

कई घटनाओं वाली परिदृश्यों में, सैद्धांतिक प्रायिकता प्रत्येक घटना के स्वतंत्र रूप से या एक साथ होने की प्रायिकता निर्धारित करने में भी मदद कर सकती है। आइए देखें कि इस तरह की परिदृश्यों में सैद्धांतिक प्रायिकता कैसे लागू होती है।

उदाहरण 4: एक से अधिक पासा फेंकने की प्रायिकता

मान लीजिए कि दो पासे एक साथ फेंके जा रहे हैं। प्रत्येक पासा निष्पक्ष है और इसमें 1 से 6 तक अंकित छह फलक हैं। हम पासे के रोल से 8 का योग प्राप्त करने की प्रायिकता जानना चाहते हैं।

जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो प्रत्येक पासे के 6 संभावित परिणाम होते हैं, जिससे परिणामों के कुल संयोजन बनते हैं:

संभावित परिणामों की कुल संख्या = 6 (पहला पासा) × 6 (दूसरा पासा) = 36

इसके बाद, अनुकूल परिणाम निर्धारित करें जो 8 होते हैं:

• (2, 6)
• (3, 5)
• (4, 4)
• (5, 3)
• (6, 2)

कुल 5 अनुकूल परिणाम हैं।

अनुकूल परिणामों की संख्या = 5 सैद्धांतिक प्रायिकता, P(8 का योग) = 5 / 36 ≈ 0.1389

इस प्रकार, दो निष्पक्ष पासों से 8 का योग प्राप्त करने की सैद्धांतिक प्रायिकता लगभग 0.1389 है, या 13.89%।

सैद्धांतिक प्रायिकता के गुण

सैद्धांतिक प्रायिकता की समझ और प्रायिकता से संबंधित समस्याओं को हल करने में इसे एक उपयोगी अवधारणा बनाने के लिए कई बुनियादी गुण हैं:

• रेंज: किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है। प्रायिकता 0 का अर्थ है कि घटना नहीं होगी, जबकि प्रायिकता 1 निश्चितता को दर्शाती है।
• कुल प्रायिकता: एक परीक्षण के सभी संभावित परिणामों की प्रायिकता का योग हमेशा 1 होता है।
• पूरक घटनाएँ: घटना के न होने की प्रायिकता को उसके होने की प्रायिकता से 1 घटाकर प्राप्त किया जाता है:

  P(not E) = 1 - P(E)

उदाहरण 5: पूरक घटनाएँ

सिक्का उछालने के उदाहरण पर वापस आते हैं, आइए यह निर्धारित करें कि सिर नहीं मिलने (अर्थात पूंछ प्राप्त करने) की प्रायिकता क्या है।

• संभावित परिणामों की कुल संख्या: 2 (सिर, पूंछ)
• पूंछ के लिए अनुकूल परिणाम: पूंछ

सैद्धांतिक प्रायिकता, P(पूंछ) = 1 / 2 = 0.5

वैकल्पिक रूप से, पूरक प्रायिकता का उपयोग करते हुए:

P(पूंछ) = 1 - P(सिर) = 1 - 0.5 = 0.5

दोनों दृष्टिकोणों से पुष्टि होती है कि पूंछ प्राप्त करने की प्रायिकता 0.5 या 50% है।

निष्कर्ष

सैद्धांतिक प्रायिकता विभिन्न परिदृश्यों में संभावित परिणामों की संभावना को निर्धारित करने का एक तार्किक और व्यवस्थित तरीका प्रदान करती है। प्रत्येक संभावित परिणाम पर विचार करके और यह निर्धारित करके कि कौन से परिणाम जांची जा रही घटना के लिए सबसे अधिक अनुकूल हैं, व्यक्ति संबंधित प्रायिकताओं का आसानी से पता लगा सकते हैं।

चाहे सिक्का उछालना हो, पासा फेंकना हो या पत्ता निकालना हो, सैद्धांतिक प्रायिकता के सिद्धांत स्थिर रहते हैं। इन सिद्धांतों को समझना संभाव्यता, सांख्यिकी और विभिन्न विषयों में निर्णय लेने की प्रक्रियाओं में अधिक उन्नत अवधारणाओं को समझने का आधार है।

टिप्पणियाँ