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प्रिज्म का आयतन
प्रिज्म को समझना
प्रिज्म एक त्रि-आयामी आकृति होती है जो दो समानांतर चेहरे, जिन्हें आधार कहा जाता है, और इन आधारों को जोड़ने वाले आयताकार पक्ष होते हैं। आधार का आकार और प्रकार प्रिज्म का नाम निर्धारित करता है। यदि आधार त्रिभुज है, तो इसे त्रिभुजाकार प्रिज्म कहा जाता है। यदि आधार आयत है, तो इसे आयताकार प्रिज्म कहा जाता है, और इसी प्रकार।
प्रिज्म हमारे दैनिक जीवन में बहुत सामान्य हैं। एक चॉकलेट बार को देखें जो समान रूप से आयताकार टुकड़ों में विभाजित होती है, या एक लम्बा आयताकार बॉक्स, ये आयताकार प्रिज्म के उदाहरण हैं।
उदाहरण 1: प्रिज्म आकृतियों की पहचान करना
निम्नलिखित आकृतियों को देखें और पहचानें कि वे किस प्रकार के प्रिज्म हैं:
क) एक तम्बू जो त्रिभुजाकार प्रिज्म के आकार का है।
ख) एक सीरियल बॉक्स, जो आयताकार प्रिज्म जैसा दिखता है।
ग) टोबलरोन चॉकलेट, जो त्रिभुजाकार प्रिज्म का एक उदाहरण है।
आयतन की अवधारणा
किसी ठोस का आयतन उस द्वारा व्याप्त स्थान होता है। उदाहरण के लिए, किसी बर्तन में पानी का आयतन उस द्वारा व्याप्त स्थान द्वारा निर्धारित होता है। किसी प्रिज्म के लिए, आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और उसके ऊंचाई द्वारा निर्धारित होता है।
आयतन को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि आप एकाई क्यूब्स (प्रत्येक पक्ष पर 1 यूनिट वाले क्यूब्स) के साथ आकृति को भर रहे हैं। इन क्यूब्स की कुल संख्या प्रिज्म के आयतन का प्रतिनिधित्व करेगी।
प्रिज्म के लिए आयतन सूत्र
प्रिज्म का आयतन खोजने का सूत्र है:
आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई
यहां, "आधार क्षेत्रफल" प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल होता है, और "ऊँचाई" दो आधारों के बीच की लंबवत दूरी होती है।
आयतन की गणना - चरण दर चरण
प्रिज्म का आयतन खोजने के लिए इन चरणों का पालन करें:
चरण 1: आधार क्षेत्रफल निर्धारित करें
पहले, आधार का क्षेत्रफल खोजें। आधार कई आकार का हो सकता है जैसे त्रिभुज, आयत इत्यादि। आधार के आकार के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग करें।
त्रिभुजाकार आधार के लिए जिसकी चौड़ाई b और ऊँचाई h_b हो:
आधार क्षेत्रफल (त्रिभुज) = 0.5 × b × h_b
लंबाई l और चौड़ाई w के आयताकार आधार के लिए:
आधार क्षेत्रफल (आयत) = l × w
चरण 2: प्रिज्म की ऊँचाई मापें
प्रिज्म की ऊँचाई खोजें, जो दो समान आधारों के बीच की दूरी है।
चरण 3: आयतन सूत्र का उपयोग करें
प्रिज्म की ऊँचाई के आधार क्षेत्रफल को गुणा करके आयतन की गणना करें।
उदाहरण:एक आयताकार प्रिज्म पर विचार करें जिसका आधार 4 यूनिट गुणा 3 यूनिट है और ऊँचाई 5 यूनिट है।
आधार क्षेत्रफल की गणना करें:
आधार क्षेत्रफल = 4 यूनिट × 3 यूनिट = 12 वर्ग यूनिट
अब, आयतन की गणना करें:
आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई = 12 वर्ग यूनिट × 5 यूनिट = 60 घन यूनिट
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उदाहरण 2: त्रिभुजाकार प्रिज्म
ऐसे त्रिभुजाकार प्रिज्म का आयतन खोजें जिसका त्रिभुजाकार आधार 6 से.मी. लंबा और 4 से.मी. ऊँचा है, और प्रिज्म की ऊँचाई 10 से.मी. है।
त्रिभुजाकार आधार का क्षेत्रफल खोजें:
आधार क्षेत्रफल = 0.5 × 6 से.मी. × 4 से.मी. = 12 से.मी.²
आयतन की गणना करें:
आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई = 12 से.मी.² × 10 से.मी. = 120 से.मी.³
उदाहरण 3: सिलेंड्रिकल प्रिज्म
एक सिलेंड्रिकल प्रिज्म (आमतौर पर सिलेंडर कहा जाता है) का आयतन खोजें जिसकी त्रिज्या 3 मी. और ऊँचाई 7 मी. है।
इस मामले में आधार एक वृत्त है, इसलिए हम वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र उपयोग करते हैं:
आधार क्षेत्रफल = π × r² = π × (3 मी.)² = 9π मी.²
सिलेंड्रिकल प्रिज्म का आयतन:
आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई = 9π मी.² × 7 मी. = 63π मी.³
विशेष मामले: सही बनाम तिरछा प्रिज्म
एक सीधा कोणीय प्रिज्म वह होता है जिसमें पक्ष आधार के लंबवत होते हैं, यानी, पक्ष आयताकार होते हैं। एक तिरछा प्रिज्म में आधार सीधे एक-दूसरे के ऊपर संरेखित नहीं होते हैं, लेकिन आयतन सूत्र वही रहता है क्योंकि आधार के समानांतर क्रॉस-सेक्शन ऊँचाई के साथ स्थिर रहते हैं।
निष्कर्ष
प्रिज्म के आयतन को समझना आपको उसे व्याप्त स्थान की गणना करने की क्षमता देता है, जो वास्तुकला, इंजीनियरिंग, तथा दैनिक कार्यों जैसे बॉक्स पैकिंग या कंटेनर भरने में आवश्यक है। सूत्र आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई का उपयोग कर, आप किसी भी प्रिज्म का आयतन खोज सकते हैं, यदि आप उसके आधार के आकार को जानते हैं।
विभिन्न आधार आकारों के साथ आयतन खोजने का अभ्यास करें और समझें कि जब आधार क्षेत्रफल या ऊँचाई बदलती है तो आयतन कैसे बदलता है। यह अन्वेषण आपके प्रिज्म आयतन अवधारणा की सीखने और अनुप्रयोग को मजबूत करेगा।
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