9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Área de superfície e volume da esfera e hemisfério


Na matemática, os conceitos de área de superfície e volume desempenham um papel importante na compreensão da geometria de várias formas. Aqui, exploramos essas ideias especificamente em relação às esferas e hemisférios. Este tópico é importante porque fornece informações sobre as propriedades e medições dessas formas, que têm aplicações no mundo real em vários campos, como física, engenharia e arquitetura.

Compreendendo a região

A esfera é um objeto geométrico tridimensional perfeitamente simétrico onde cada ponto em sua superfície está à mesma distância de seu centro. Por causa de sua uniformidade, a esfera representa um exemplo de simplicidade e simetria na geometria.

Representação visual

Círculo

Área de superfície de uma esfera

A área de superfície de uma esfera é a área total fechada pela superfície da esfera. Pode ser calculada usando a fórmula:

Área de Superfície de uma Esfera = 4πr²

Aqui, r representa o raio da esfera, que é a distância do centro da esfera a qualquer ponto em sua superfície. π (pi) é uma constante que é aproximadamente igual a 3.14159.

Exemplo

Se você tem uma esfera com raio de 5 cm, a área de superfície da esfera pode ser calculada da seguinte maneira:

Área de Superfície = 4 × π × (5)² = 4 × π × 25 = 100π cm² ≈ 314.16 cm²

Volume de uma esfera

O volume de uma esfera é a quantidade de espaço que ela ocupa, que pode ser determinada usando a fórmula abaixo:

Volume de uma Esfera = (4/3)πr³

Novamente, r é o raio, e π é a constante matemática pi.

Exemplo

Para encontrar o volume de uma esfera de raio 5 cm, use a fórmula como mostrado abaixo:

Volume = (4/3) × π × (5)³ = (4/3) × π × 125 = (500/3)π cm³ ≈ 523.33 cm³

Compreendendo hemisférios

Um hemisfério é metade de uma esfera. Você pode pensar nisso como cortar uma esfera em duas metades iguais ao longo de seu diâmetro.

Representação visual

Hemisfério

Área de superfície de um hemisfério

A área de superfície de um hemisfério possui duas partes: a área de superfície curva e a área da base. A fórmula para a área de superfície curva de um hemisfério é metade da área de superfície de uma esfera inteira:

Área de Superfície Curva de um Hemisfério = 2πr²

Adicione a área da base circular, que é dada por:

Área da Base = πr²

Portanto, a área de superfície total de um hemisfério é:

Área de Superfície Total de um Hemisfério = 2πr² + πr² = 3πr²

Exemplo

Considere um hemisfério com raio de 5 cm. A área de superfície total do hemisfério é calculada como:

Área de Superfície Total = 3 × π × (5)² = 3 × π × 25 = 75π cm² ≈ 235.62 cm²

Volume de um hemisfério

O volume de um hemisfério é metade do volume de uma esfera perfeita. Portanto, a fórmula para o volume de um hemisfério é:

Volume de um Hemisfério = (2/3)πr³

Exemplo

Vamos encontrar o volume de um hemisfério com raio de 5 cm:

Volume = (2/3) × π × (5)³ = (250/3)π cm³ ≈ 261.67 cm³

Aplicações no mundo real

Compreender a área de superfície e o volume de esferas e hemisférios é importante em muitas aplicações no mundo real. Por exemplo, esses cálculos são importantes para determinar a quantidade de material necessária para construir objetos esféricos como bolas, tanques esféricos ou cúpulas. Arquitetos usam esses cálculos para projetar estruturas com superfícies curvas.

Engenheiros frequentemente dependem do conhecimento do volume esférico para calcular a capacidade de contêineres. Os princípios discutidos aqui também são essenciais em disciplinas como astronomia e geografia, onde a curvatura da Terra e de vários corpos celestes é estimada usando modelos esféricos.

Problemas de prática

  1. Encontre a área de superfície de uma esfera de raio 10 cm.
  2. Encontre o volume de uma esfera de diâmetro 24 cm.
  3. O raio de um hemisfério é 7 cm. Encontre sua área de superfície total.
  4. Qual é o volume de um hemisfério de raio 12 cm?
  5. Se o tanque esférico pode conter um volume de 2000 litros, encontre seu raio.

Solução

  1. Área de Superfície = 4π(10)² = 400π cm² ≈ 1256.64 cm²
  2. Raio = Diâmetro / 2 = 24 / 2 = 12 cm
    Volume = (4/3)π(12)³ = (6912/3)π cm³ = 2304π cm³ ≈ 7238.23 cm³
  3. Área de Superfície Total = 3π(7)² = 147π cm² ≈ 461.81 cm²
  4. Volume = (2/3)π(12)³ = 1152π cm³ ≈ 3619.11 cm³
  5. Volume = (4/3)πr³ = 2000 litros × 1000 cm³/litro = 2000000 cm³
    r³ = (3/4) × (2000000/π) ≈ 477464.83
    r ≈ 78.02 cm

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Área de superfície e volume da esfera e hemisfério

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