कक्षा 9 → पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ↓
घन, घनाभ और सिलेंडर का आयतन
घन, घनाभ और सिलेंडरों जैसे त्रिआयामी आकृतियों का आयतन समझना आवश्यक अवधारणा है जिससे इन आकृतियों की धारण क्षमता या स्थान को समझा जा सके। जब हम आयतन की बात करते हैं, तो हम उस स्थान की बात कर रहे होते हैं जो एक आकृति द्वारा तीन आयामों में घिरा जाता है। आइए हम इन ज्योमेट्रिक आकृतियों को विस्तार से देखें और सीखें कि कैसे उनके आयतन की गणना की जाए।
आयतन को समझना
आयतन एक ठोस वस्तु द्वारा घिरे स्थान का माप है। इसे आम तौर पर घन इकाइयों में मापा जाता है, जैसे कि घन सेंटीमीटर (cm 3), घन मीटर (m 3) आदि। आयतन को यह सोचें कि कितने इकाई आकार के घन आकृति के अंदर फिट हो सकते हैं।
घन का आयतन
घन एक विशेष प्रकार का घनाभ होता है, जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई समान होती है। एक घन में छह वर्गीय सतहें, बारह किनारे और आठ कोने होते हैं। एक घन को उसकी भुजा की लंबाई से पहचाना जाता है।
घन के आयतन का सूत्र
भुजा की लंबाई a वाले घन का आयतन V इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
V = a 3इसका सरल अर्थ है कि आप एक भुजा की लंबाई को दो बार उसके आप में गुणा करते हैं।
उदाहरण गणना
यदि किसी घन की भुजा 3 सेमी है, तो उसका आयतन है:
V = 3 सेमी x 3 सेमी x 3 सेमी = 27 सेमी 3इस प्रकार, घन का आयतन 27 घन सेंटीमीटर है।
दृश्य उदाहरण
घनाभ का आयतन
घनाभ, जिसे आयताकार प्रिज्म भी कहा जाता है, में छह आयताकार सतहें होती हैं। इसे उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई से पहचाना जाता है।
घनाभ के आयतन का सूत्र
लंबाई l, चौड़ाई w और ऊंचाई h वाले घनाभ का आयतन V निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
V = lxwxhयह सूत्र घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का गुणा करता है।
उदाहरण गणना
यदि किसी घनाभ की लंबाई 4 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी और ऊंचाई 2 सेमी है, तो उसका आयतन है:
V = 4 सेमी x 3 सेमी x 2 सेमी = 24 सेमी 3इसका अर्थ है कि घनाभ 24 घन सेंटीमीटर स्थान घेर सकता है।
दृश्य उदाहरण
सिलेंडर का आयतन
एक सिलेंडर एक ठोस वस्तु है जिसमें दो समानांतर वृत्तीय आधार होते हैं जो एक घुमावदार सतह से जुड़े होते हैं। एक सिलेंडर को उसके आधार की त्रिज्या और ऊंचाई से पहचाना जाता है।
सिलेंडर के आयतन का सूत्र
आधार त्रिज्या r और ऊंचाई h वाले सिलेंडर का आयतन V निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
V = πr 2 hयहां, π (पाई) लगभग 3.14159 है। यह सूत्र आधार वृत्त का क्षेत्रफल निकालता है और इसे ऊंचाई से गुणा करता है।
उदाहरण गणना
यदि किसी सिलेंडर के आधार की त्रिज्या 5 सेमी और ऊंचाई 10 सेमी है, तो उसका आयतन है:
V = π x (5 सेमी) 2 x 10 सेमी = π x 25 सेमी 2 x 10 सेमी = 250π सेमी 3जब π का अनुमान लगाया जाता है तो परिणाम लगभग 785.398 सेमी 3 होता है।
दृश्य उदाहरण
आयतन के अनुप्रयोग
घन, घनाभ और सिलेंडर के आयतन को समझना हमारे दैनिक जीवन में बहुत व्यावहारिक है। यह समझने के लिए कि एक टंकी में कितना पानी रखा जा सकता है, से लेकर पैकेजों के आयतन का अनुमान लगाने तक, आयतन की गणना निर्णय लेने में मदद करती है। इन गणनाओं का उपयोग इंजीनियरिंग, वास्तुकला, चिकित्सा और अन्य क्षेत्रों में किया जाता है।
पाठ उदाहरण - घन
एक छोटे खिलौने के डिब्बे का विचार करें, जो कि घन के आकार का है और जिसकी भुजा 10 सेमी है। यह जानने के लिए कि अंदर कितना स्थान है, इसका आयतन खोजें:
V = 10 सेमी x 10 सेमी x 10 सेमी = 1000 सेमी 3इसका अर्थ है कि खिलौना बॉक्स की धारण क्षमता 1000 घन सेंटीमीटर है।
पाठ उदाहरण - घनाभ
मान लीजिए आपके पास एक लकड़ी का तख्ता है जो कि घनाभ के आकार का है जिसके आयाम 2m x 0.5m x 0.1m हैं। इसका आयतन गणना करें:
V = 2m x 0.5m x 0.1m = 0.1m 3इसलिए, तख्ता 0.1 घन मीटर स्थान घेरता है।
पाठ उदाहरण - सिलेंडर
यदि तेल के एक बैरल के आधार की त्रिज्या 0.7m और ऊंचाई 2m है, गणना करें कि इसमें कितना तेल रखा जा सकता है:
V = π x (0.7m) 2 x 2m = π x 0.49m 2 x 2m = 0.98π m 3जब π का अनुमान लगाया जाता है तो बैरल लगभग 3.08 घन मीटर वजन धारण कर सकता है।
निष्कर्ष
घन, घनभ और सिलेंडर का आयतन निकालना हमें इन वस्तुओं के अंदर के स्थान को समझने और मापने में मदद करता है। सूत्रों का उपयोग करके, आप इन आकृतियों से संबंधित कई व्यावहारिक समस्याओं को हल कर सकते हैं। याद रखें, आयतन एक सरल अवधारणा है जिसमें बस आयामों को गुणा करना होता है या यह देखने के लिए एक सूत्र का उपयोग करना होता है कि एक वस्तु के पास कितना स्थान है।
टिप्पणियाँ