Класс 9
  1. Числовые системы  1.1. Понимание действительных чисел  1.2. Рациональные числа  1.3. Иррациональные числа  1.4. Свойства действительных чисел  1.5. Законы степеней и радикалов  1.6. Представление на числовой прямой  1.7. Десятичное представление действительных чисел
  2. Многочлены  2.1. Определение и виды многочленов  2.2. Степень многочлена  2.3. Нули многочлена  2.4. Введение в теорему о остатке  2.5. Разложение многочленов  2.6. Понимание алгебраических тождеств  2.7. Полиномиальные уравнения и корни
  3. Координатная геометрия  3.1. Картезианская система  3.2. Рисование точек на плоскости  3.3. Понимание формулы расстояния в координатной геометрии  3.4. Формула отрезка  3.5. Площадь треугольника  3.6. Координаты середины и центра тяжести
  4. Линейные уравнения с двумя переменными  4.1. Решения линейного уравнения  4.2. Графический метод  4.3. Алгебраический метод решения линейных уравнений с двумя переменными  4.4. Понимание применения линейных уравнений с двумя переменными  4.5. Введение в линейные неравенства с двумя переменными
  5. Введение в евклидову геометрию  5.1. Основные определения и термины в евклидовой геометрии  5.2. Аксиомы и постулаты  5.3. Теоремы об углах и линиях  5.4. Свойства параллельных линий  5.5. Построение треугольников  5.6. Аксиома конгруентности
  6. Прямые и углы  6.1. Понимание отношений угловых пар  6.2. Параллельные линии и поперечные линии  6.3. Свойства углов, образованных параллельными линиями  6.4. Сумма углов треугольника  6.5. Типы углов
  7. Треугольник  7.1. Конгруэнтность треугольников  7.2. Критерии конгруэнтности в треугольниках  7.3. Свойства треугольников  7.4. Неравенства в треугольнике  7.5. Сходство треугольников  7.6. Теорема Пифагора
  8. Четырехугольник  8.1. Свойства четырехугольников  8.2. Типы четырехугольников  8.3. Теорема о середине в четырехугольниках  8.4. Свойства параллелограмма  8.5. Свойства трапеции и ромба  8.6. Диагонали и их свойства
  9. Площади параллелограммов и треугольников  9.1. Площадь параллелограмма  9.2. Понимание площади треугольника  9.3. Доказательства теории площадей  9.4. Применение теории полей
  10. Понимание кругов  10.1. Определения и терминология  10.2. Свойства круга  10.3. Понимание свойств хордов в окружностях  10.4. Касательные к окружности  10.5. Циклический четырехугольник  10.6. Понимание дуг и углов, образуемых в кругах
  11. Строительство  11.1. Основные конструкции  11.2. Построение биссектрисы  11.3. Построение треугольников  11.4. Построение касательных к окружности  11.5. Построение углов заданной величины
  12. Понимание формулы Герона  12.1. Площадь треугольника с использованием формулы Герона  12.2. Использование формулы Герона для различных треугольников и четырехугольников  12.3. Доказательство формулы Герона
  13. Площадь поверхности и объем  13.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  13.2. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  13.3. Площадь поверхности и объем конуса  13.4. Площадь поверхности и объем сферы и полусферы  13.5. Преобразование единиц измерения  13.6. Объем призмы
  14. Числа  14.1. Сбор данных  14.2. Представление данных  14.3. Введение в меры центральной тенденции  14.4. Среднее, медиана и мода  14.5. Графическое представление данных  14.6. Объем и измерение дисперсии
  15. Понимание вероятности  15.1. Введение в теорию вероятностей  15.2. Экспериментальная вероятность  15.3. Теоретическая вероятность  15.4. Простые задачи по вероятности

Класс 9 ↓


Понимание формулы Герона


Формула Герона — это очень полезная формула в математике, особенно когда нужно найти площадь треугольника, зная длину всех трех сторон. Эта формула названа в честь Герона Александрийского, который был греческим инженером и математиком. Она особенно полезна, поскольку не требует вычисления углов или высот, что делает ее универсальной и применимой к любому треугольнику.

Разбор формулы Герона

Чтобы воспользоваться формулой Герона, нужно знать длины всех трех сторон треугольника. Зная их, формула позволяет вычислить площадь, используя только эти длины. Формула разбивается на два основных шага:

Шаг 1: Вычисление полупериметра

Полупериметр треугольника равен половине его периметра. Если стороны треугольника обозначены как a, b и c, то полупериметр s вычисляется следующим образом:

s = (a + b + c) / 2

Шаг 2: Применение формулы Герона

После нахождения полупериметра можно найти площадь A треугольника, используя формулу Герона:

A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Пример для понимания

Рассмотрим пример для более ясного понимания:

Представьте, что у вас есть треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 5 см. Чтобы найти площадь этого треугольника с использованием формулы Герона, выполните следующие шаги:

Вычисление полупериметра

Сначала найдите s:

s = (7 + 10 + 5) / 2 = 11 см

Вычисление площади

Теперь подставьте значения в формулу Герона:

A = √(11 * (11 - 7) * (11 - 10) * (11 - 5)) A = √(11 * 4 * 1 * 6) A = √(264) A ≈ 16.25 см²

Таким образом, площадь треугольника приблизительно равна 16.25 квадратных сантиметров.

7 см 10 см 5 см

Иследуйте дополнительные примеры

Рассмотрим другой треугольник со сторонами 8 см, 15 см и 17 см.

Шаг 1: Найдите полупериметр

s = (8 + 15 + 17) / 2 = 20

Шаг 2: Используйте формулу Герона для нахождения площади

A = √(20 * (20 - 8) * (20 - 15) * (20 - 17)) A = √(20 * 12 * 5 * 3) A = √(3600) A = 60 см²

Площадь этого треугольника точно равна 60 квадратным сантиметрам.

8 см 15 см 17 см

Зачем важна формула Герона?

Формула Герона чрезвычайно важна, потому что она предоставляет способ найти площадь любого треугольника, не нуждаясь в измерении высоты или углов. Эта формула особенно полезна в реальных задачах, где вы можете знать только длины сторон. Она также помогает в различных областях, таких как инженерия, архитектура и землеустройство, где треугольник является основным элементом в дизайне и измерениях.

Математическое доказательство

Хотя доказательство формулы Герона может быть сложным для девятого класса, важно понять его предысторию:

Формула Герона может быть выведена из теоремы косинусов и из формулы площади треугольника, выведенной из тригонометрии. Тем не менее, на данном этапе важнее понять, как применять формулу, нежели выведение ее.

Другие примеры

Рассмотрим треугольник, стороны которого равны 9 см, 12 см и 15 см.

Вычисление полупериметра

s = (9 + 12 + 15) / 2 = 18

Подстановка в формулу Герона

A = √(18 * (18 - 9) * (18 - 12) * (18 - 15)) A = √(18 * 9 * 6 * 3) A = √(2916) A = 54 см²

Таким образом, площадь этого треугольника составляет 54 квадратных сантиметра.

9 см 12 см 15 см

Задачи и соображения

Иногда вы можете столкнуться с особыми типами треугольников, такими как прямоугольные треугольники или равносторонние треугольники. Хотя формула Герона применяется универсально, вы можете упростить свои вычисления, используя особые свойства таких треугольников. Например, в прямоугольных треугольниках использование основы высоты может быть более простым.

Практические задачи

Практика необходима, чтобы овладеть навыком использования формулы Герона. Попробуйте решить эти примеры задач, используя полученные знания:

  1. Найдите площадь треугольника, чьи стороны равны 6 см, 8 см и 10 см.
  2. Найдите площадь треугольника со сторонами 11 см, 13 см и 16 см.
  3. Найдите площадь треугольника со сторонами 21 см, 20 см и 29 см.

Заключение

Формула Герона — это простой, но мощный инструмент в геометрии. Она подчеркивает важность понимания взаимосвязи между различными аспектами геометрии через длины сторон и дает практический подход к эффективному вычислению площадей. По мере продолжения обучения навык использования формулы Герона усилит ваши способности к решению задач в различных геометрических задачах.


Класс 9 → 12


U
username
0%
завершено в Класс 9

← предыдущая (11.5)
Построение углов заданной величины
следующая (12.1) →
Площадь треугольника с использованием формулы Герона

комментарии 



Понимание формулы Герона

https://www.buddymath.com/g9/12?bmal=ru